Личность и Абсолют

d) Остается еще одна и последняя идея, чтобы детерминант открыл нам свой логический секрет. А именно, мы взяли в нашем числе чисто количественную сторону и чисто фактическую, акты его полагания. Само число, однако, не есть ни только абстрактное количество без осуществляющих его актов полагания, ни только слепые акты полагания без осмысливающего их количества. Но не сразу понятно, как акты полагания могут в данном случае определить количество. Конкретно вопрос стоит так: как каждое из наших произведений определяется входящими в него актами полагания? Если этот вопрос будет решен относительно каждого произведения в отдельности, то тем самым он будет решен и относительно всей суммы произведений, т. е. относительно всего изучаемого нами числа.

Вопрос ставится не просто об отличии одного порядка сомножителей от другого, так как этот вопрос уже нами разрешен при помощи использования триадического шага в области актов полагания, т. е. при помощи получения всех возможных перестановок. Речь идет о том, как данный порядок сомножителей, взятый в целом, влияет на получаемое при этом количество, т. е. на их произведение. Другими словами, это произведение мыслится нами сейчас как неизвестное, как произведение каких–то неизвестных, и требуется узнать, как на это общее неизвестное повлияет тот или иной порядок этих неизвестных сомножителей.

Спросим себя: что означает тут та или иная перестановка сомножителей? И даже поставим вопрос еще уже. Не надо обсуждать общее отличие одной перестановки от другой, а достаточно пока отдавать себе отчет в простой замене одного сомножителя другим, носящей в теории детерминантов название транспозиции. В чем, стало быть, смысл транспозиции? Чтобы наш ответ на этот вопрос не показался странным, рассмотрим эту замену сомножителей в том их смысле, какой он имеет чаще всего для детерминантов, т. е. в смысле коэффициентов при неизвестных системы уравнений. Пусть, напр., мы имеем

Определяя из третьего уравнения

подставляя его в первое уравнение, мы заменяем одно неизвестное другим. В чем значение этой замены? В том, что мы исключили одно неизвестное из двух и тем получили возможность его найти. Но сделали мы это только благодаря тому, что на место одного неизвестного стало другое неизвестное, с другим знаком. И значит, определить одно неизвестное в этом случае есть не что иное, как некоторым образом превратить другое неизвестное в это первое с обратным знаком. Замена одного сомножителя другим в наших произведениях означала как раз то, что мы переходили к нахождению, к определению этих неизвестных сомножителей. Если теперь мы будем считать нашу основную перестановку 1, 2, 3 положи* тельной, то всякая другая перестановка будет положительной или отрицательной в зависимости от того, сколько у нас будет транспозиций. Если отсутствие всякой транспозиции оставляет перестановку положительной, то одна транспозиция сделает ее отрицательной, вторая, продолжая менять ее знак на обратный, вернет ее опять к положительности, а третья по той же причине сделает ее вновь отрицательной. Словом, тут мы приходим к той особенности детерминанта, которую мы отметили выше в его определении: если число инверсий в перестановке четное, то она положительная, а если это число нечетное, то она отрицательная.

Таким образом, диалектическая сущность того, что половина наших произведений оказалась отрицательной, сводится как раз к тому, что в данном случае мы их понимаем как неизвестные, которые должны быть найдены, определены при помощи той или иной перестановки их сомножителей, т. е. отрицательность этих произведений есть результат того, что общеколичественная сторона нашего анализируемого числа и система актов его полагания вступили одна с другой во всестороннее диалектическое взаимоопределение. Это сразу становится видно, как только мы воспользуемся детерминантами для решения системы уравнений. Минусы, с которыми входит половина всех произведений, составляющих детерминант, как раз определены тем, что мы переносили в разных уравнениях неизвестные с одной стороны на другую и потом подставляли в другие уравнения, перенося их после необходимых выкладок, может быть, и еще раз в другую сторону, чтобы отделить неизвестные от известных величин, получившихся в результате подстановок; другими словами, эти минусы вызваны именно тем, что мы приступили к решению уравнений и нахождению неизвестных, т. е. вознамерились найти непосредственный количественный смысл неизвестных при помощи определенной группировки их коэффициентов.