Так, под влиянием блестящего Сергея Новикова, лауреата Ленинской премии, третьекурсник Богомолов стал заниматься модной дифференциальной топологией и позже — космологией. После дипломной работы по топологии по рекомендации Новикова Богомолов поступил в аспирантуру в Математический институт имени Стеклова. С одной стороны, потому, что в академическую аспирантуру было намного легче сдать общественные дисциплины, чем в университетскую. А общественные дисциплины в советском варианте представляли некоторую проблему для многих мыслящих людей того времени, так как не каждому было по силам убедительно произнести на экзамене положенные мантры марксистско-ленинской идеологии и назвать по памяти важные партийные даты.
С другой стороны, к 1970 году обстановка на мехмате ощутимо изменилась. Победа Израиля в Шестидневной арабо-израильской войне 1967 года возродила антиеврейскую кампанию в СССР. Последовали многочисленные ограничения для советских евреев на работу, учебу, выезд за границу, и они начали бороться за право эмигрировать в Израиль. Затем советские власти испугались событий в Чехословакии 1968 года, и началось «закручивание гаек». Интеллигенция в целом оказалась под пристальным вниманием КГБ. А дело известного диссидента Александра Есенина-Вольпина особенно сильно изменило именно математический «ландшафт».
Сын Есенина был не только поэтом, но и известным математиком. В сталинские времена он провел в ссылке три года как социально опасный элемент, а во время оттепели стал основателем правозащитного движения, так называемым «законником», призывающим советские власти соблюдать советскую же Конституцию. Во многом именно с истории Есенина-Вольпина началась традиция советской карательной психиатрии. В 1968 году он был принудительно помещен в спецбольницу, что вызвало глубокое возмущение коллег-математиков, которые подписали обращение в адрес министра здравоохранения СССР, генерального прокурора СССР и главного психиатра города Москвы с призывом освободить Есенина-Вольпина. Знаменитое «Письмо девяноста девяти». О нем тут же стало известно на Западе, его обсуждали «вражеские голоса» — «Голос Америки», «Радио „Свобода“», Би-би-си. Кроме того, в письме была сделана приписка: «Ответ просим присылать по адресу: Москва-234, Ленинские горы, Московский государственный университет имени Ломоносова, механико-математический факультет, на имя любого из числа подписавших это письмо».
По мнению некоторых свидетелей тех событий, эта приписка подставила под удар властей мехмат МГУ, выведя из-под него академические институты. Во всяком случае, созвездие свободных гениев на мехмате было разгромлено, а академические институты, в частности «Стекловка» и Институт проблем передачи информации (ИППИ), остались нетронуты. Кому-то из «подписантов» удалось уехать в Израиль, а кто-то, напротив, стал безнадежно невыездным.
В «Стекловке» Богомолов попал в аспирантуру как раз к тем самым «подписантам», в отдел выдающегося математика, основателя алгебраической геометрии в России Игоря Шафаревича. С 1960-го по 1995-й он заведовал отделом и собрал в нем алгебраистов мирового уровня и разного стиля мышления — Андрея Тюрина, Алексея Паршина, Юрия Манина, Алексея Кострикина, Сергея Демушкина.
Мы вместе ходили в походы, проводили выездные семинары на дачах, привозили туда и иностранцев, — вспоминает Богомолов, — обсуждалось все, у нас в отделе была абсолютная свобода мнений, формальностей практически никаких, отчеты были минимальные. Ценилась хорошая идея, а мелочи были неважны. Лучшую обстановку для работы и представить было трудно.
Богомолов осознавал, что в таком диссидентском окружении о формальной карьере советского математика и речи быть не может. Но зато оставалась свобода заниматься наукой. Люди, регулярно приходившие на семинар Шафаревича, работали в разных, зачастую странных для математика местах, вроде ИНФОРМЭЛЕКТРО или ВНИПИИСТРОМСЫРЬЕ. Они были профессионалами высочайшего уровня, но традиционная академическая научная карьера для них была закрыта. Уходя от официальных способов организации научной деятельности, эта группа математиков перешла к частным семинарам и мини-конференциям на подмосковных дачах, в Литве, Ярославле, Львове.
Первые же три года в таком окружении оказались для Богомолова очень продуктивными: он получил результат, который формально стал его кандидатской диссертацией, а в истории науки получил известность как «теорема Богомолова о разложении». В ней речь шла о разложении многообразий определенного класса, которые потом стали применяться как в алгебраической геометрии, так и в математической физике для теории струн.