Андрея отличает чуткий слух. Он чувствует глубокие взаимоотношения частей математики и физики. Именно поэтому он двинулся в новые для себя области, не очевидным, но глубоким образом связанные с первой тематикой. Это помогло ему в работах с Пандхарипанде, Некрасовым и другими, когда он перешел к занятиям фактически алгебраической геометрией и физикой (теорией Громова — Виттена). В то же время его работы этого периода не только решают известные задачи, но и привносят новые методы в эти области.
Первый опыт преподавания в Америке для Окунькова, в отличие от многих его коллег, не стал ни потрясением, ни тяжким бременем. Он считает, что ему помогли лучшие традиции преподавания математики в России. В частности, на него сильно повлияли наставники — Григорий Ольшанский и Анатолий Вершик, которые требовали он него думать о том, как точно выразить математическую мысль.
Гёте сказал: «Кто не знает иностранного языка, тот не знает и своего собственного», — а я сказал бы наоборот: кто не умеет ясно выражать себя на своем собственном языке, тот и иностранным не овладеет. Надо, чтобы в каждом предложении был точный смысл, пусть и неочевидный. Когда я слышу или читаю звучащую складно лапшу из слов без смысла, я печалюсь.
После Чикаго были еще три года в Калифорнийском университете в Беркли, а в 2002 году Окуньков прошел по конкурсу на должность постоянного профессора Принстонского университета.
Он поясняет:
Американский университет — это большой отлаженный бизнес, и традиционно математические факультеты играют в нем не ключевую роль. Но в Принстоне считают иначе: математика и физика — это драгоценные камни в короне их принстонского величества, там математиков администрация поддерживает.
В это время в Принстоне появилось поколение блестящих аспирантов, будущих лидеров американской математики, и преподавательская и научная карьера Окунькова пошла на взлет. Уже через два года, в 2004-м, он стал пленарным докладчиком на Европейском математическом конгрессе, что очень почетно для любого математика. А еще через два года, в 2006-м, в Мадриде ему вручили высшую математическую награду мира — Филдсовскую медаль — «за работы, соединяющие теорию вероятностей, теорию представлений и алгебраическую геометрию». Как отметил Филдсовский комитет:
Труды Андрея Окунькова выявили глубокие новые связи между различными областями математики и открыли новый взгляд на проблемы, возникающие в физике. Хотя его работы трудно классифицировать, потому что они затрагивают такие разнообразные области, можно выделить две четкие темы — использование понятий случайности и классических идей из теории представлений. Эта комбинация доказала свою силу в решении проблем из алгебраической геометрии и статистической механики.