Логика для юристов: Учебник.

Примем соглашения об опускании скобок в формулах. Будем опускать внешние скобки. Условимся считать, что знак связывает теснее, чем знаки , , , ; знак — теснее, чем , , ; — теснее, чем , ; теснее, чем . Исходя из сказанного, в формулах ((рq) (rs)), (р (р q)) можно опустить скобки следующим образом:

рqrs,р(рq).

Упражнение 4

Восстановите скобки в следующих формулах:

1. рqr;

2.q( pr)q;

3. р q р r р q;

4. р q r р (q r).

При табличном построении логики высказываний логические константы определяются посредством таблиц истинности. При этом принимается, что каждое высказывание имеет одно значение — или “истина”, или “ложь”.

Приведем эти табличные определения логических констант еще раз:

А	В	АВ	AВ	АВ	АВ
и	и	и	и	и	и
и	л	л	и	л	л
л	и	л	и	и	л
л	л	л	л	и	и

Назовем формулу, являющуюся пропозициональной переменной, элементарной, формулу, содержащую логические константы, — сложной. В сложной формуле можно выделить логическую константу, называемую главной логической константой формулы. Поясним, как это можно сделать.

Каждую сложную формулу логики высказываний можно единственным образом представить в виде А, или А В, или A В, А В или А В. Буквами А и В здесь обозначаются формулы, являющиеся частями сложной формулы. Подформулы, конечно, в свою очередь могут быть сложными формулами.

Представив таким образом сложную формулу, мы выделяем в ней последнюю по построению логическую константу, которая и называется главной логической константой формулы.

Найдем главную логическую константу формулы p q p q.

Восстановим скобки в этой формуле:

((pq)(рq)).

Эту формулу единственным образом можно представить в форме А В. Ее главным знаком является знак импликации. Можно представить в виде “дерева” процесс построения этой формулы:

р				q
i				^
^р		l	Р
1^		^	^	^
Ьр	V			(pn^q)
	2			4
	^			i

p q

V V

p q pq

1V V V 3V

(pq)(pq)

24

V V

((pq)(pq))

5

Стрелки показывают, что из формул (или формулы), от которых они направлены, образована формула, к которой они направлены. Цифры под логическими константами указывают порядковый номер константы по построению формулы. Последняя по построению константа имеет номер 5.

Упражнение 5

Найдите главную логическую константу в каждой из следующих формул.

1. (р q) r р r;

2. рqrр(qr);

3. ((p q) q) q;

4. (р р ).

Построим таблицу истинности для формулы р q q. В таблице под главной константой формулы будем писать истинностные значения формулы в целом. В этой формуле главной логической константой является знак импликации. Чтобы установить истинностные значения всей формулы, необходимо установить истинностные значения подформул, составляющих ее, т.е. формул р q и q. Истинностные значения этих формул будем соответственно писать под логическими константами и . В результате получим таблицу истинности:

p	q	рqq
и	и	илл
и	л	иии
л	и	и л л
л	л	л и и

Проанализируем первую строку таблицы. В первой строке пропозициональные переменные р и q имеют значение и. Чтобы установить истинностное значение формулы в целом, следует установить истинностные значения подформул р q и q . При значении и переменных р и q р q имеет значение и, при значении и переменной q формула q имеет значение л, что видно из таблиц истинности для дизъюнкции и отрицания, приведенных выше.

p	q	рqq
и	и	ил

Оказывается, антецедент формулы в целом, являющейся импликацией, имеет значение и, а консеквент — л. В приведенной выше таблице для импликации в этом случае импликация имеет значение л:

p	q	рqq
и	и	илл

Можно упростить построение таблиц истинности, если значения пропозициональных переменных писать под переменными, входящими в саму формулу.

В приведенном выше табличном определении отрицания всего две строки, а в определениях для конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности — по четыре строки. Как установить число строк в таблице в общем случае, т.е. как установить, сколько может быть различных возможных наборов значений переменных, входящих в формулу?

Число строк в таблице истинности определяется по следующей формуле: число строк таблицы = 2ⁿ, где п — число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу, а число 2 показывает число истинностных значений (и, л).

Учитывая сказанное, построим таблицу истинности для формулы:

(р(qr))((рq)(рr)).

Формула содержит три различные переменные. Следовательно, число строк в таблице = 2ⁿ, 2³=8. Разделим число строк пополам и напишем под первой пропозициональной переменной (первой слева) в столбик четыре раза и и четыре раза л:

(р(qr))((рq)(рr)).

и

и

и

и

л

л

л

л