Логика для юристов

4. Во время пожара некто рассуждает так: “Если я пойду по лестнице, то сгорю. Если я выпрыгну из окна, то разобьюсь. Я не пойду по лестнице или не выпрыгну из окна. Следовательно, я не сгорю или не разобьюсь”.

Условные умозаключения. Посылками и заключениями этих умозаключений являются условные суждения.

Контрапозиция. Это умозаключение имеет следующую логическую форму:

А→В

________

¬B→¬ A

Пример:

Если философ — марксист, то он диалектик

___________________________________

Если философ не диалектик, то и не марксист.

Сложная контрапозиция. Схема:

(А∧В) →С

-------------

(А∧¬С) →¬В

Пример:

Если Иванов совершил преступление, предусмотренное ст. 156 УК, и он же совершил преступление, предусмотренное ст. 206 УК,

то он подлежит наказанию по двум этим статьям.

–------------------------

Если Иванов совершил преступление, предусмотренное ст. 156 УК, и он не подлежит наказанию по двум статьям — 156 и 206 УК, то он не совершил преступление, предусмотренное ст. 206 УК.

Транзитивность:

A→B, B→C

___________ .

A→C

Импортация:

A→ (B→C)

__________ .

(A∧B)→C

Экспортация:

(A∧B)→C,

_________ .

А→(В→С)

В традиционной логике рассматривался один вид наиболее простых умозаключений за другим и выделялись формы правильных умозаключений и формы неправильных. Учащимся предлагалось заучивать формы тех и других рассуждении. Недостатком этого способа изучения является то, что изучение занимает слишком много времени и не приводит к сколь-нибудь завершенному логическому образованию, поскольку правильных и неправильных способов рассуждении бесконечно много.

Современная логика нашла несколько способов обзора бесконечного множества форм правильных рассуждений, относящихся к логике высказываний. Рассмотрим один из них.

Табличное построение логики высказываний.

Логика высказываний — раздел символической логики, поэтому в ней используется язык символов. Символы этого языка:

а) p, q, r, s, p₁, q₁,... — пропозициональные символы (пропозициональные переменные);

б) ¬, ∧, ∨, ⊃, ≡ — логические термины (логические константы);

в) (,) — скобки.

Определение формулы:

а) пропозициональная переменная есть формула;

б) если А есть формула и В есть формула, то ¬A, (А ∧ В),(A ∨ B), (А ⊃ В),

(А ≡ В) — формулы;

в) ничто иное не есть формула.

Согласно определению, выражения (р∧q), ((р∧¬q) ≡ (р ⊃ r)), ¬¬ p, r являются формулами, а выражения (p ∨ q) ⊃, r ≡, ∧ (р ⊃ s) — нет.

Примем соглашения об опускании скобок в формулах. Будем опускать внешние скобки. Условимся считать, что знак ¬ связывает теснее, чем знаки ∧, ∨, ⊃, ≡; знак ∧ — теснее, чем ∨, ⊃, ≡; ∨ — теснее, чем ⊃, ≡; ⊃ теснее, чем ≡.

Исходя из сказанного, в формулах ((р∧¬q) ⊃ (r∨s)), (¬¬р ≡ (р ⊃ q)) можно опустить скобки следующим образом:

р ∧¬ q ⊃ r ∨ s, ¬¬ р ≡ (р ⊃ q).

Упражнение 4

Восстановите скобки в следующих формулах:

1. р ∧ q ⊃ r;

2. ¬ q ⊃ ( p ∨¬ r) ∧ q;

3. р ⊃ q ≡ р ∧¬ r ⊃ р ∨ q;

4. р ∧ q ⊃ r ≡ р ⊃ (q ⊃ r).

При табличном построении логики высказываний логические константы определяются посредством таблиц истинности. При этом принимается, что каждое высказывание имеет одно значение — или “истина”, или “ложь”. Приведем эти табличные определения логических констант еще раз:

Назовем формулу, являющуюся пропозициональной переменной, элементарной, формулу, содержащую логические константы, — сложной. В сложной формуле можно выделить логическую константу, называемую главной логической константой формулы. Поясним, как это можно сделать.

Каждую сложную формулу логики высказываний можно единственным образом представить в виде — ¬ А, или А ∧ В, или A ∨ В, А ⊃ В или А ≡ В. Буквами А и В здесь обозначаются формулы, являющиеся частями сложной формулы. Подформулы, конечно, в свою очередь могут быть сложными формулами.

Представив таким образом сложную формулу, мы выделяем в ней последнюю по построению логическую константу, которая и называется главной логической константой формулы.

Найдем главную логическую константу формулы ¬ p ∨ q ⊃ p ∧¬ q.

Восстановим скобки в этой формуле:

((¬ p ∨ q) ⊃ (р ∧¬ q)).

Эту формулу единственным образом можно представить в форме А з В. Ее главным знаком является знак импликации. Можно представить в виде “дерева” процесс построения этой формулы:

Стрелки показывают, что из формул (или формулы), от которых они направлены, образована формула, к которой они направлены. Цифры под логическими константами указывают порядковый номер константы по построению формулы. Последняя по построению константа имеет номер 5.

Упражнение 5

Найдите главную логическую константу в каждой из следующих формул.