Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Д28. 1) Приведем контрпример: —5; 2; 2; 2; —5; 2; 2; 2; -5.

Ответ. Нет.

2) Возьмем произвольные четыре числа. Их сумма положительна, поэтому положительно хотя бы одно из этих чисел. Возьмем его, а остальные восемь чисел разобьем на две четверки чисел, сумма которых положительна.

Ответ. Да.

Комментарий. Для обоснования отрицательного ответа в первом случае достаточно одного контрпримера. Для обоснования положительного ответа во втором случае необходимо доказательство.

Д29. 1) Ложно. Можно сделать лишь вывод о том, что некоторые улитки любят кошек.

2) Истинно.

Д30. 1) Устрица не является ископаемым животным.

2) Со мной никогда не случалось этого.

3) Вывод сделать нельзя.

4) Дети не управляют крокодилами.

5) Ни один из твоих подарков не сделан из олова.

Д31. Из условия следуют только два утверждения – второе и четвертое.

Д32. Это задача-шутка. Первый вывод в бытовой речи допустим, хотя автор «Мертвых душ» – не единственный носитель фамилии Гоголь, и нельзя исключать наличие портрета другого Гоголя. Второй вывод явно неверен. Отличие в употреблении неопределенного местоимения «какой-то». Фразам с неопределенными местоимениями в логике соответствуют не высказывания, а предикаты; их серьезное изучение выходит за рамки данной книжки.

Д33. Если бы такое число существовало, то вдвое меньшее число тоже было бы рациональным и положительным.

Ответ. Нет.

Д34. Предположим, что заработок Папы Карло каждый месяц был целым. Перечислим месяцы в порядке возрастания заработка. Тогда за первый месяц Папа Карло заработал не менее нуля золотых, за второй не менее одного…, за двенадцатый не менее одиннадцати. Всего он заработал не менее 0 + 1 + 2 +.. + 11 = 66 золотых, что противоречит условию. Значит, предположение неверно, и какой-то из заработков не был целым.

Д35. На круге чередуются группы подряд идущих четных чисел с группами подряд идущих нечетных. Предположим, что нет двух четных чисел рядом. Если в каждой «четной» группе – ровно одно число, то таких групп 1005. Значит, и «нечетных» групп 1005, то есть столько, сколько нечетных чисел. Тогда и в каждой «нечетной» группе – по одному числу, то есть четные и нечетные числа строго чередуются. Но это значит, что либо каждое четное число больше обоих соседних нечетных, либо каждое четное число меньше обоих соседних нечетных. В первом случае не найдется места для числа 2, а во втором – для числа 2010. Противоречие.

Д36. Обсуждение. С чего начать, ясно. Надо предположить, что разрезание возможно, и прийти к противоречию. Но к какому? Подумаем, в чем сложность разрезания: надо куда-то деть круглые куски с границы круга. Для этого нужно вырезать подходящие круглые дополнения, но при их вырезании получится что? Тришкин кафтан! Остается только толково пояснить, чем отличаются «плохие» круглые участки от «хороших».

Решение. Предположим, что такое разрезание возможно. Рассмотрим кусочки, составляющие квадрат. Выберем из них все те, в границу которых входят дуги, которые составляли границу круга или являются дугами того же радиуса г. В квадрате суммы длин этих дуг, к которым кусочки примыкают «изнутри» и «снаружи» (с вогнутой и выпуклой сторон), равны. А в круге разность между теми и другими должна равняться длине окружности 2 кг. Противоречие.

Ответ. Нельзя.

Д37. Возьмем произвольный бюллетень из 11-й урны. Пусть там написаны десять фамилий: Первый, Второй, Третий…, Десятый. Предположим, что ни для одной из урн нет кандидата, фамилия которого написана во всех бюллетенях из этой урны. Тогда в первой урне найдется бюллетень без упоминания Первого, во второй найдется бюллетень без Второго и т. д. Возьмем 10 таких бюллетеней. Вместе со взятым вначале бюллетенем из 11-й урны получим набор, противоречащий условию задачи.

Д38. Каждым из двух качеств (ловкость и везение) Джо может обладать или не обладать. Рассмотрим все 4 варианта. Первый: Джо ловкач и ему везет. Тогда верны высказывания 1 и 5. Второй: Джо ловкач и ему не везет. Тогда верны высказывания 1, 2, 4, 6. Третий: Джо не ловкач и ему везет. Тогда верны высказывания 3, 4 и 6. Четвертый: Джо не ловкач и ему не везет. Тогда верны высказывания 2, 4 и 5. Наибольшее число высказываний верно во втором случае.

Ответ. 4.

Д39. Годятся различные вопросы. Например, можно спросить: «Правда ли, что у тебя золотых монет больше, чем у Алеши Поповича?» Если у Ильи Муромца две золотые монеты, он скажет «Да», если обе монеты у Ильи серебряные, то «Нет», а если ему достались разные монеты, то он ответит «Не знаю».

Другой вариант: «Досталась ли Алеше хотя бы одна золотая монета?». Если у Ильи обе монеты серебряные, он ответит «Да», если обе золотые, он ответит «Нет», а если одна золотая, а другая серебряная, он ответит «Не знаю».

Возможны также вопросы:

– Правда ли, что одному из двух других богатырей достались две серебряные монеты?

– Верно ли, что два других богатыря получили хотя бы по одной золотой монете каждый?

– Если я заберу у тебя одну монету и дам вместо нее золотую, станет ли у тебя больше золотых?