Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Д40. Если бы первый назвался лжецом, мудрец понял бы сразу, что тот хитрец. А вот рыцарем себя мог назвать любой из них. И в этом случае даже после ответов остальных мудрец не смог бы определить, кто первый на самом деле. Действительно, он мог бы и вправду быть рыцарем (лжец и хитрец могли назвать его лжецом и хитрецом в любом порядке). Но мог бы быть и лжецом (при этом рыцарь назвал бы его лжецом, а хитрец мог и хитрецом). А мог и хитрецом (рыцарь назвал бы его хитрецом, а лжец – лжецом).

Если же первый назвался хитрецом, то сразу можно понять только, что он не рыцарь. Поэтому не рыцарь и тот, кто назвал его рыцарем. Кто же рыцарь? Тот, кто назвал первого лжецом. Поэтому первый – лжец.

Ответ. Лжец.

Д41. Возможны три случая:

1) А – рыцарь;

2) А – шпион, и он сказал правду;

3) А – шпион, и он солгал.

В первом случае А скажет «да», во втором – «нет», в третьем– «да». Поэтому по его ответу можно делать вывод только во втором случае. Итак, А – шпион, зачем-то сказавший правду.

Д42. 1) Если бы на вопрос «Вы шпион?» А ответил «нет», то он мог бы быть рыцарем или шпионом, а если «да», то он мог бы быть лжецом или шпионом. В первом случае то, что А сказал правду про В, не позволило бы судье понять, кто В, а во втором позволило бы. Значит, А сказал «да», и он шпион.

Ответ. А – шпион.

2) Мы уже выяснили, что А сказал «Да». Если бы Б сказал «Нет», то судья не понимал бы еще, что В – не шпион, а должен был допускать три возможности: 1) А – лжец, Б – рыцарь, В – шпион; 2) А – лжец, Б – шпион (сказавший правду), В – рыцарь; 3) А – шпион (сказавший правду), Б – лжец, В – рыцарь. Но судья понял, что В – не шпион. Значит, Б тоже сказал «Да». В таком случае судья должен допускать две возможности: 1) А – лжец, а Б – шпион (солгавший); 2) А – шпион (сказавший правду), а Б – рыцарь. В обоих случаях он действительно понимает, что В – не шпион. А когда А сказал, что В – не шпион, судья понимает и то, что А – не лжец, и реализуется второй из двух случаев: А – шпион, Б – рыцарь, В – лжец.

Ответ. «Да».

Д43. Обсуждение. Чтобы лучше почувствовать задачу, попробуем для начала действовать наугад. Предположим, например, что дураков и умных в думе по 100. Тогда умные дадут ответы от 98 до 100 (в зависимости от скромности и от того, кто именно уехал), а все дураки скажут «Один», и премьер-министр легко отличит умного от дурака. Почему же он не смог понять ответ? Потому что умные отвечали так же, как дураки, то есть их было мало.

Решение. Заметим, что все дураки дадут ответ: «Один». Если бы умных в думе было три или больше, то они дали бы ответ: «Два (или больше)» и премьер-министр всё бы понял. Значит, умных могло быть 0, 1 или 2.

Рассмотрим все эти случаи. Если умных не было, то все сказали: «Один». Если был один умный уверенный, то он тоже сказал: «Один», и ситуация неотличима от предыдущей. Если был умный скромный, то он сказал: «Ни одного», и эта ситуация отличима. Если было два скромных умных, они сказали: «Один», и ситуация неотличима от предыдущей. Если бы было два уверенных умных, они сказали бы: «Два», и ситуация была бы отличима. Наконец, если бы были один уверенный и один скромный умный, то уверенный сказал бы: «Два», и ситуация также была бы отличима.

Таким образом, возможны три неразличимых варианта: нет умных, один уверенный умный и два скромных умных. Во всех этих случаях все участники опроса ответят: «Один».

Посмотрим, какие ответы даст опоздавший думец в каждой из этих ситуаций в зависимости от его ума и скромности:

Видно, что ответы «1» и «2» встречаются в нескольких клетках, т. е. такие ответы не помогли бы различить ситуации. Зато ответы «О» и «3» встречаются в таблице по одному разу и позволяют сделать однозначный вывод. Значит, опоздавший дал один из этих ответов. В первом случае в думе один умный, во втором – три.

Ответ. 1 или 3.

Д44. 1) Занумеруем карты от 0 до 6. Можно считать, что у Гриши карты 1, 2 и 3. Пусть он скажет: «У меня либо набор 1, 2, 3, либо набор 4, 5, 6». Поскольку у Леши на руках как минимум две карты из набора 4, 5, 6, он понимает, что у Гриши набор 1, 2, 3, и знает, какая карта спрятана. Теперь Леша должен сообщить Грише свои карты. Возможны два случая.

1. У Леши набор 4, 5, 6 (а спрятана карта 0). Леша говорит: «У меня либо набор 4, 5, 6, либо 1, 2, 0».

2. У Леши другой набор, скажем, 4, 5, 0 (а спрятана карта 6). Леша говорит: «У меня либо набор 4, 5, 0, либо 1, 2, 3».