Логика для всех. От пиратов до мудрецов

В обоих случаях названный Лешей «не свой» набор пересекается с Гришиным как минимум по двум картам, поэтому Гриша тоже узнает, какой на самом деле набор у Леши. Докажем, что Коле ничего не ясно. Действительно, и в том, и в другом случае названо три набора карт: А, В и С. Наборы В и С пересекаются по двум картам, Гриша сказал: «У меня либо А, либо В», Леша сказал: «У меня либо А, либо С». Это означает, что либо у Гриши набор А, а у Леши – С, либо у Гриши – В, а у Леши – А. Поэтому три карты из набора А и две карты из пересечения наборов В и С могут оказаться как у Гриши, так и у Леши (в нашем примере это карты 1, 2, 3, 4 и 5). А из остальных двух карт наборов В и С (в нашем примере 6 и 0) одна закрытая, другая – у одного из игроков. Поэтому местоположение никакой из карт Коля вычислить не может.

2) Заметим, что предыдущий способ не работает: зная закрытую карту, Коля может всё определить.

Пусть Гриша занумерует карты числами от 0 до 6 (и объявит об этом вслух). Затем пусть Гриша и Леша по очереди назовут остатки от деления суммы номеров своих карт на 7. Тогда они узнают расклад: ведь остаток суммы Гриши плюс остаток суммы Леши плюс номер спрятанной карты должны давать 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0 (mod 7). Так, например, если у Леши карты 1, 3, 4, а Гриша назвал остаток 4, то спрятана карта —4 – (1 + 3 + 4) = 2 (mod 7), значит, у Гриши карты 0, 5, 6.

Проверим, что Коля ничего не узнал. Его информация исчерпывается Гришиной суммой g и Колиной картой к (а Лешину сумму теперь Коля и сам может вычислить). Рассмотрим любую другую карту, пусть ее номер х. Покажем, что она входит в какой-нибудь набор из трех карт с суммой g, не содержащий к. Для этого дополним х парой карт с суммой номеров g – х. Таких пар ровно три при любом значении g – х (доказательство см. ниже). Из них две, возможно, не подходят из-за того, что туда входит карта с номером s или к, но как минимум одна пара остается. С ее помощью мы и создадим набор для Гриши (а набор для Леши получится автоматически). Например, если х = 3, то в нашем случае при g = 4 надо найти пару с суммой 4–3 = 1. Таких пар три: 1 = 0 + 1 = 2 + 6 = 3 + 5 (mod 7). Из них подходит только (0, 1}, то есть у Гриши мог быть набор 0, 1, 3.

Итак, любая карта могла оказаться у Гриши. Такие же рассуждения показывают, что любая карта могла оказаться и у Леши. Поэтому местоположение никакой из карт Коля вычислить не может.

Осталось доказать, что неупорядоченных пар с нужной суммой s всегда три. Есть семь упорядоченных пар (0, s), (1, s — 1)…, (6, s — 6). Из них ровно в одной оба остатка одинаковы, поскольку уравнение 2х = s имеет, ввиду взаимной простоты чисел 2 и 7, ровно одно решение. Из неупорядоченной пары с разными остатками получается ровно две упорядоченных, поэтому неупорядоченных пар вдвое меньше, чем упорядоченных, то есть ровно 3.

Ответ. Могут в обоих случаях.

Д45. Из Петиных слов следует, что он не комиссар. Возможны два случая:

1) Петя – мафиози. Тогда он лжет и на самом деле знает, кто Дима, поэтому Дима – второй мафиози.

2) Петя – мирный житель.

Информации, которую Дима мог бы извлечь из Петиного высказывания, недостаточно, чтобы догадаться, кто комиссар. Поэтому если Дима говорит правду, то он сам и есть комиссар. А если лжет, то он – мафиози.

Если бы Миша был мирным жителем, он к этому моменту еще не мог понять, кто Петя: мирный житель или мафиози. Если Петя и Дима – два мафиози, то Миша комиссар; если Петя – мирный житель, а Дима – комиссар, то Миша – мафиози; если Петя – мирный житель, а Дима – мафиози, то Миша – комиссар или мафиози.

Теперь видно, что Саша, будучи мирным жителем, не может быть уверен, что Миша – комиссар. А комиссар никого другого назвать комиссаром не может. Значит, Саша – мафиози.

Теперь ясно почти все: Петя – мирный житель, Саша– первый мафиози, Дима и Миша – комиссар и второй мафиози (в произвольном порядке), а Илья – мирный житель.

Ответ. Мирный житель.

Д46. Обсуждение. Пусть дочь полковника звали Кити, а гусаров – Алексей, Борис и Виктор. О чем имеет смысл спрашивать гусаров? Либо сразу о том, кто кому бросал цветок, либо для начала о том, в каком порядке они ехали (ведь последний знает про всех, кроме себя). Оба пути приводят к верному решению. Только надо понимать, что на прямой вопрос «Кто ехал последним?» гусар не может ответить (все три ответа «Так точно», «Никак нет» и «Не могу знать» не подходят).

Решение 1. Сначала спросим Алексея: «Ехал ли Борис впереди Виктора?» Ответ однозначно определяет, кто передний: «Так точно» – Борис, «Никак нет» – Виктор, «Не могу знать» – Алексей.

Рассмотрим случай, когда информации минимум – то есть передний Алексей. Спросим у Бориса, бросила ли Кити цветок Виктору. При ответе «Так точно» цветок от Кити у Виктора. При ответе «Никак нет» полковник спрашивает Бориса, бросила ли Кити цветок Алексею. При ответе «Так точно» цветок от Кити у Алексея, при ответе «Никак нет» – у Бориса.