Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Греческое решение проблемы измерения опиралось на стержневое определение «пропорции», приписываемое Евдоксу. В «Элементах» Евклида это знаменитое определение приводится пятым в пятой книге. Мы процитируем его в классическом варианте, чтобы иллюстрировать раннее свидетельство, как смутные предположения проникают незамеченными в математику, несмотря на предельную осторожность и желание не допустить этого. Сначала мы обращаем внимание, что «многократная» величина – вполне признанная и законная концепция: если «множитель» натуральное число m, m-кратное величины A получается, если отмерить число A m раз на линии достаточной длины. Если линия недостаточно длинна, ее можно увеличить – удлинить, пока ее длина не станет достаточной. Греческие геометры заметили необходимость включения (в качестве постулата) возможности удлинения линии до любой конечной длины и сделали это. Немного удивляет, что они упустили бесконечно большую нужду в объяснении понятия «то же самое отношение». «Первая из четырех величин считается имеющей «то же самое отношение» ко второй, что и третья к четвертой, когда берутся любые множители первой и третьей величины, и любые множители второй или четвертой величины, то кратная величина третьей величины больше, равна или меньше, чем кратная величина четвертой, соответственно, как и кратная величина первой больше, равна или меньше кратной величины второй величины». Это объясняет значение словосочетания «то же самое отношение» или «пропорционально», из чего появляется «пропорция» как простое вербальное определение. «Если первая из четырех величин имеет то же самое отношение ко второй, что и третья к четвертой, все четыре величины называются пропорциональными, или членами пропорции».

Такой была формулировка, по которой многие поколения школьников пытались воспринять элементарную геометрию до тех пор, пока «Элементы» Евклида в качестве школьных учебников не были отвергнуты. Для нашей цели нет необходимости переводить определение во вразумительную и легко воспринимаемую форму в символике, общепринятой сегодня. Но, даже не воспринимая смысла, а просто перечитывая это определение, как какое-нибудь упражнение по чтению, легко заметить, что за словами в дважды повторяемой фразе «любые числа, имеющие общие множители» прячется грандиозное предположение. «Числа с общими множителями» двух величин означает «одинаково кратные», например три или восемь раз взятая каждая из величин. Чтобы установить, находятся ли четыре величины в пропорции («любые» из определения), требуется проверить все пары чисел с общими множителями. Когда таких пар бесконечность, такая проверка выше человеческих сил. Но разве это возражение существенно? Не для тех, кто способен вообразить себя выполняющими бесконечное количество умножений и сравнений результатов, как то требуется по определению. Какая крайность более рациональна – вопрос спорный, если только не должно оказаться, что один или другой не вступает в противоречие своим преимуществом. Но определение обнаруживает, что в попытке избежать ловушек «числа» и обращаясь к геометрически (или визуально) интуитивной концепции «величины» мы теряем себя в той же самой бесконечности, как и прежде.

Теория измерения и сравнения величин была способна (с некоторым преувеличением) предоставить рациональный счет непрерывного движения. Но, как часто случалось, греческий гений испытывал антипатию ко всему переменному и динамичному, предпочитая увековечить себя в четко отличающихся объектах, каждый из которых стоит особняком от других в своей конечной завершенности и совершенстве. В их геометрии эта склонность к статичности в противоположность динамике произвела множество специальных теорем без единого намека на общий принцип, объединяющий значительное число в их единстве и целостности. Современная геометрия лишь пассивно интересуется частными теоремами. Что она ищет и находит? Всестороннее обобщение, из которого любое заданное или требуемое число частных теорем может быть получено однородными способами. Различие между античным подходом и современным как-то сравнили с разницей между попыткой зубилом по кусочку раздробить гранитную глыбу и той же самой попыткой, но уже с заложенным динамитом. Другое обычное сравнение уподобляет греческую математику Парфенону, а современную математику готическому собору. Древний храм – символ конца всего, что он представляет, собор же – символ неограниченной бесконечности.