Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Справедливо ли это сравнение, или оно основано лишь не более чем на воображении, но греческие математики остановились, не доходя до рационального описания движения, для которого их теория измерения была вполне достаточна. Преодолев основную трудность, создав работоспособную теорию соизмеримых и несоизмеримых величин, греки застопорились, столкнувшись с парадоксом, который могли бы, проигнорировав, обойти. Возможно не вполне осознавая, что несла в себе их теория, они фактически создали (или открыли) континуум (совокупность) «реальных чисел», в особенности представленный несчетно-бесконечным множеством всех точек на линии. Но потому что все их неприятности с иррациональными числами шли от попытки пифагорейцев распространить рациональные числа на линии, создатели континуума намеренно воздержались от применения «чисел» в «величинах». Линии сравнивали по равенству или неравенству, но общего арифметического определения «длины», применимой ко всем линиям, тщательно избегали. Пока не пришло время заменить несколько туманное понятие «величин» на обобщенный и точный эквивалент, выраженный числами, практичная теория движения едва ли была выполнима.

Прежде чем мы бросим взгляд на парадокс, который остановил греков на самом пороге современной математики, стоит посмотреть, как Платон попытался унифицировать все числа. Пифагорейцы произвели все натуральные числа от единицы, или Монады, через мистический союз Нечетного и Четного, или, что было нумерологически эквивалентно, брак Конечного с Бесконечным. С открытием иррациональности пифагорейские категории нечетного и четного, конечного и бесконечного были уже недостаточны для конкретизации понятий «числа» и «пространства». Вместо дискретной сущности числа, подобной горстке гальки, число стало по существу континуумом, непрерывностью, подобно атмосфере, передаваемой чувствами. В этом неотделимом и неисчислимом целом натуральные числа и все другие рациональные числа были рассеяны реже, чем звезды в полуночной тьме. Желая цельной замены совершенной простоты «все сущее есть число» Пифагора, Платон искал расширенное определение числа, которое вместило бы в себя и рациональные и иррациональные числа и которое, кроме того, вмещало бы в себя их как числа, независимо от пространственной интуиции, как в «величинах» математиков.

Если бы он преуспел в этом, он бы приблизил по меньшей мере часть современной теории континуума.

Вместо «конечного и бесконечного» Пифагора, Платон использовал понятие «большое и малое», что напоминает наш континуум, как, например, «все множество чисел, соответствующее точкам на линии».

Из этого и Единицы он попытался получить свои Идеальные числа, которые некоторые толкователи, включая Аристотеля, наделяли идентичной сутью с его Идеями или Формами. Но, подобно всем своим современникам, Платон оказался ограничен недостатком системы обозначений, способной записать и придать форму неуловимой концепции, которую он, возможно, создал в своем воображении, и профессионалам-платонистам еще только предстоит достигнуть согласия по поводу, какова она все-таки как единое целое. Возможно, если бы Идеальные числа были созданием юного Платона, а не Платона-старца, их было бы много проще понять.

Мы рассмотрим затем ту роль, которую парадоксы Зенона могли сыграть и, вероятно, сыграли в неспособности греков перейти от их теории величин к обобщенной арифметике, способной описать движение. «Бесконечное число», заложенное в «величинах» геометров, ускользало как от математиков, так и от философов вплоть до последней трети XIX столетия.

Глава 17 Ошибка рассуждений

Нельзя добежать до конца дистанции в забеге, потому что, прежде чем пробежать всю дистанцию, необходимо пройти ее половину, а чтобы дойти до половины, надо перевалить через четверть дистанции, и так далее до бесконечности. Из этого следует, что в любом заданном месте пространства существует бесчисленное множество точек. И нет никакой возможности дотронуться до каждой точки бесчисленного множества точек за определенный момент времени.

Но атлеты-то доходят до финиша, а некоторые из них пробегают сто ярдов за девять с половиной секунд, что само по себе является конечной величиной времени.

Атлеты не только проходят дистанцию, а самый быстрый из них обходит всех, кто оказался ближе к финишу, и выигрывает забег. У нас, наверное, что-то не так со зрением, поскольку «того, кто медленнее, никогда не обгонит на его траектории тот, кто быстрее, поскольку преследующий обречен всегда прибегать сначала к точке, которую преследуемый только что покинул. Следовательно, тот, кто медленнее, всегда будет впереди».