Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

– Именно так, – ответил Зенон. – Но если непохожее не может быть похожим или наоборот, тогда никакое Множество невозможно, поскольку это потребует применения невозможности? Не состоит ли твоя цель в том, чтобы опровергнуть существование Множества? И не направлен ли каждый твой трактат на отдельное доказательство этого, тогда будет столько доказательств, сколько аргументов ты придумаешь о невозможности существования Множества?

– Нет. Ты неправильно понял главный тезис трактата, – ответил Зенон.

Беседа продолжилась. В конце Зенон определенно просветил Сократа:

– Реальная цель моих трудов состоит в том, чтобы защитить аргументы Парменида от тех, кто высмеивает его и выдвигает бесконечные фантастические и противоречивые выводы, которые якобы следуют из формального определения Единицы. Мой ответ адресован сторонникам Множества и имеет целью показать, что, если задаться целью, из их гипотезы существования Множества легко сделать выводы более весомые и более нелепые, чем из гипотезы существования Единицы».

Между прочим, он изобрел диалектику. Затем Зенон поведал, что в молодые годы любовь к противоречиям подтолкнула его написать парадоксальный трактат. Книгу украли, пояснил он, и у него не осталось другого выбора, как опубликовать парадоксы. «Мотивом» публикации, заверил он скептически настроенного Сократа, «были не амбиции старого человека, а неуживчивость молодого».

Какова бы ни была цель создания парадоксов, Зенон причастен в какой-то степени к тому, что греческие математики решительно не перешли к арифметике бесконечных чисел, арифметической теории континуума вещественных (действительных) чисел, анализу движения и практичной теории непрерывного изменения. Итак, любая серьезная работа по физике навсегда осталась выше их возможностей. Они остановились на полпути. Парадоксы Зенона и нехватка символов для представления чисел застопорили их.

Парадоксы, которые менее фанатично преданные логике люди игнорировали бы на время и занялись бы более насущными проблемами развития арифметики (конечной или бесконечной) и созданием математического аппарата для изучения физики и астрономии, превратили педантичных, ограниченных математиков Греции в перестраховщиков. Они предпочли заняться консолидацией и совершенствованием уже достигнутого и сделать единый безупречный шедевр, подобно одному из их белых храмов на скалистой вершине. Они преуспели в своей теории пропорций, которая и сейчас столь совершенна, каковой она была двадцать три века тому назад, но она бессодержательна, и ею никто не пользуется. К моменту завершения своего шедевра на благо восхищенного потомства огромная часть их талантов погрязла в классических формах и постепенно истощилась. За исключением неортодоксального Архимеда, жившего в 287–212 годах до н. э., который не опустился до презрения к рассуждениям о вещах, а также об идеях, которое было присуще греческим математикам после Платона, составившим незабываемую когорту из прошлого. К счастью для прогресса естествознания и развития математики, Ньютон в 1660-х годах проигнорировал парадоксы Зенона, если вообще когда-либо слышал о них, и смело создал чистую и прикладную математику непрерывного изменения. Его рассуждения о «бесконечно малом» и «бесконечно большом» привели бы в ужас математиков времен Платона. Но они дали ему дифференциальные и интегральные вычисления, без которых ни его собственная астрономия и механика, ни астрономия и механика его последователей в XVIII веке не была бы возможна. Он знал, что его расчеты грешат логическими несостыковками, но он не стал посвящать юность своего разума достижению абсолютной чистоты рассуждений.