Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Интерпретации парадоксов Зенона столь многочисленны, сколь и различны, и столь же безрезультатны, сколь и предположения о целях их создания. Вот запись, не относящая их к числу противостоящих прогрессу, по крайней мере в философии. Как отметил Бернард Рассел в своих «Лоуэльских лекциях» 1914 года: «Доводы Зенона до некоторой степени дали почву для почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, которые были созданы с его дней до наших». Далее Рассел подвел свои итоги. При допущении, что конечное пространство и время состоят из конечного числа точек и мгновений, аргументы Зенона, как подчеркивает Рассел, правомерны. «Мы можем, следовательно, избежать его парадоксов либо устранить их, хотя пространство и время действительно состоят из точек и мгновений, а число их на любом конечном интервале бесконечно, либо отрицать, что пространство и время состоят из точек и мгновений, либо вообще, в конце концов, отрицать реальность самого пространства и времени, вместе взятых. Это выглядит так, словно сам Зенон, как сторонник Парменида, вывел последнее из трех возможных умозаключений безотносительно времени. В этом очень большое количество философов последовало его примеру». На что Зенон, скорее всего, ответил бы, как ответил Сократу: «Нет. Ты неправильно понял главный смысл трактата». В любом случае другие парадоксы проявились в арифметике бесконечного с тех пор, как Рассел опроверг Зенона. Рассел же продолжал: «…трудности могут возникнуть снова, если представить, что бесконечные числа допустимы. И на основании, независимом от пространства и времени, бесконечные числа и последовательности, в которых не может быть двух повторяющихся членов, должны быть в любом случае признаны», – и не только они, но и (как покажется из развития арифметики бесконечного с 1914 года) парадоксы наподобие непридуманных парадоксов Зенона.

В дополнение к предоставлению оснований «для почти всех теорий пространства, времени и бесконечности» от Зенона до Рассела парадоксы Зенона доказали наибольшую значимость для логики XX века, особенно в той части, что вытекает из признания бесконечных чисел в математике. Как отмечает Рассел, долго разыскиваемая дорога к конечному в 1914 году была прямой и ясной: «Из этого следует, что, если нам суждено разрешить весь класс противоречий, вытекающих из Зенона по аналогии, мы должны создать какую-нибудь надежную теорию бесконечных чисел. В чем же состоят противоречия, которые до последних тридцати лет вели философов к уверенности, что бесконечные числа невозможны? Противоречия делятся на два вида, первый из которых сродни мнимым, в то время как прочие вовлекают для их разрешения до определенной степени новое и нетрадиционное мышление.

Мнимые противоречия – это противоречия из числа тех, что предполагает этимология, и тех, что возникают из смешивания математической бесконечности и того, что философы дерзко именуют «истинной» бесконечностью».

К этому может быть добавлено, что математические логики (которые, несомненно, образуют особую разновидность, хотя, возможно, и представлены весьма скромно среди философов) начиная с 1914 года сочли необходимым проявлять «новое и нетрадиционное мышление» в отношении «теории бесконечных чисел» в надежде придать ей «убедительность». В процессе их размышлений они выявили несколько новых парадоксов логики, которые могли бы оказаться мнимыми, но которые тем не менее подсказали, что в дедуктивном мышлении существует больше ловушек и открытых ям, о которых Фалес и даже Платон никогда и не мыслили. Новые парадоксы теперь больше похожи на естественные следствия из эволюции математической логики, начатой самим Расселом в 1902 году. К некоторым еще вернемся в нужном месте.

Отчасти неугасаемые парадоксы Зенона были представлены в данной главе только для того, чтобы подсветить оледенелую вершину всех видов философии чисел, конечного и бесконечного, теории идеального числа, какой видел ее Платон в свои зрелые годы. Мы постараемся поймать отблеск неизменяемой реальности, которую он описал, после того как узнаем, каким человеком он был.

Глава 18 Политика и геометрия

«В любые времена в мире найдется не более дюжины человек, которые читали и поняли Платона, и никогда нет достаточно средств на издание его работ, хотя вопрос об этом встает перед каждым поколением ради этих нескольких человек, на случай если их пошлет Бог».