Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

В эволюции геометрической истины существуют четыре критические даты: 1701, 1733, 1781 и 1826 годы. Связанные с ними имена соответственно: Джордж Беркли (1685–1753), Джироламо Саккери (1667–1733), Иммануил Кант (1724–1804) и Николай Лобачевский (1793–1856). Беркли был ирландским метафизиком, теологом и, наконец, епископом. Саккери – итальянским логиком-иезуитом и математиком. Кант – немецкий философ шотландского происхождения, не был математиком. Лобачевский – русский математик, никогда не был философом. За исключением Канта, каждый из этих людей внес значительный вклад в деплатонизацию математики в целом и геометрии в частности.

Беркли, кажется, оказался первым метафизиком в памяти истории (с сомнительным исключением некоторых средневековых номиналистов), который заподозрил, что нет ничего абсолютного в «истинах» геометрии.

Саккери, вопреки своему открытому стремлению и неискоренимой вере, оказался первым, кто продемонстрировал, что система геометрии Евклида – не единственная из приемлемых.

Кант просто допустил замысловатую ошибку. С позиций своих рассуждений, к которым мы вернемся в должном месте, он рассмотрел истинность элементарной геометрии (евклидовой) как априори аподиктической и синтетической. Иначе говоря, он поверил, что геометрические теоремы, такие как «сумма углов плоского треугольника равна двум прямым углам», являются неизменимыми истинами, свойственными реальности, какой она передается мысли самой структурой мозга, то есть человеческий мозг может воспринимать геометрические истины только через формы евклидовой геометрии. Эта геометрия, таким образом, навязана человечеству самой природой и мозгом. Только так, а не иначе.

Лобачевский, прекрасно понимая, чем он занимается и что его работа подразумевает для геометрической «истины», представил вполне законченную систему геометрии, самодостаточную и отличную от евклидовой, как и евклидова, пригодную для повседневного использования. Сознательно и преднамеренно Лобачевский сделал то, что Саккери, убеждая самого себя, считал невозможным, но что, несмотря на его стойкую лояльность к Евклиду, Саккери частично выполнил.

Кант и Лобачевский противоречат друг другу во всем. Хоть и предпринимались попытки показать, что Канта неправильно поняли и что его метафизика согласовывается с неевклидовыми геометриями, компетентные математики и математики-логики сошлись на том, что Кант ошибся. «Нет ничего, – утверждал Кант, – губительнее для философии, чем математика». Конечно, не было ничего губительнее для философии самого Канта, чем попытка доказать невообразимость геометрии отличной от евклидовой, поскольку геометрия Евклида была для него верной. Частично по аналогии с этой предполагаемой надежностью евклидовой геометрии, частично на основании других рассуждений Кант вывел свою теорию «вещей в себе» – переодетых абсолютов.

Невольный шедевр Саккери, содержащий первые примеры неевклидовой геометрии, был издан в 1733 году, «Критика чистого разума» Канта с его ложной концепцией геометрии появилась в 1781 году. Отдельные фанаты системы Канта могли бы попытаться представить себе, что бы сказал Кант об абсолютной геометрии и абсолютах вообще, если бы ему выпал шанс прочитать труд Саккери. Еще увидим, почему философ отверг этот шанс. Все не столь академично, как может показаться. Такой, ничуть не меньший авторитет, как Томас Манн, утверждал в 1941 году, что на самом деле цивилизация если и воюет за что-то во Второй мировой войне, так это за Абсолют.

Глава 24 Епископ-скептик

Располагая в хронологическом порядке Беркли, Саккери и Лобачевского, будем считать Беркли первым. Жизнь Беркли (1685–1753) охватывает первый великий период ньютоновской математики и натуральной философии. Его интеллектуальное восхождение там, где оно шло параллельно развитию математики, предлагает интересный пример последовательного продвижения оригинального и независимого ума от ортодоксальности к ереси. Но в своем главном интересе, в христианской теологии, Беркли никогда не испытывал колебаний. Если в его сознании и был доминирующий мотив, то речь может идти только о его желании придать Богу рациональное начало с помощью того, что математики именуют доказательством существования. Чем бы ни занимался Беркли в математике, он оставался крестоносцем, словно сам Бог наложил на него это обязательство. Иногда в своих попытках сделать божественное существование приемлемым для рационально мыслящего ума он оказывался на удивление расчетливо рациональным, словно современный математик, сочиняющий монографию о постулатах геометрии или логике бесконечности. Чаще же он оставался настолько далеким от реальности в своих рассуждениях, насколько бескорыстен был в жизни.