Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Лобачевский прожил еще девять лет и умер в 1856 году, так и не получив признания за свое творческое научное бунтарство. Первое сообщение о неевклидовой геометрии Лобачевского было представлено научному обществу Казанского университета в 1826 году. Его не приняли, но за 1829–1830 годы солидное описание было переписано заново и опубликовано по-русски. Немецкий перевод последовал в 1840 году. Ни та ни другая редакции не произвели сколь-нибудь заметного впечатления на математическое сообщество. Только один математик (Гаусс) почтил должным вниманием геометрию Лобачевского и высоко оценил ее в частной переписке, но это было все. Не лишенный мужества, Лобачевский продолжал совершенствовать свою неевклидову систему, назвав ее пангеометрией. За год до его смерти (1855) Казанский университет отмечал полувековую годовщину. Оказав университету незаслуженную честь, Лобачевский пришел на церемонию и подарил экземпляр своей «Пангеометрии», подводившей итоги всей его научной жизни. Работа была написана по-французски и по-русски, но не им самим, поскольку он к тому времени уже ослеп. Спустя несколько месяцев, в возрасте шестидесяти двух лет, умер, вероятно, на то время единственный в мире человек, кто точно знал значение совершенного им. Лобачевский осознавал, какое воздействие новая геометрия окажет на дедуктивные рассуждения. Последнее крайне важно для данной работы.

Источником полного успеха Лобачевского стала его способность не верить в кажущиеся прописными истины и его способность применить свое неверие. Этот талант к созидательным сомнениям в традиционно очевидном, похоже, является редчайшим из всех интеллектуальных даров. Тот, кому достался этот талант и кто при этом способен воспользоваться своим талантом, обычно совершает переворот в науке.

Когда Эйнштейна спросили, как ему удалось создать теорию относительности, он ответил: «Я засомневался в аксиомах». Лобачевский засомневался в аксиоме Евклида о параллельных прямых, Коперник засомневался в аксиоме, утверждавшей, что Земля – центр Солнечной системы, Галилей поставил под сомнение аксиому, что более тяжелое тело падает быстрее, Эйнштейн озадачился аксиомой, что события в разных местах происходят одновременно, Брауер засомневался в аксиоме, что закон логики Аристотеля об исключении среднего является универсальным в применении, физики-атомщики XX века подвергли сомнению более чем одну аксиому механики Ньютона и т. д. и т. п. В каждом случае какой-то раздел человеческого знания подвергался изменениям, и практически без вариантов – в сторону большей свободы. Аксиома в целом накладывает определенные ограничения на разумные рассуждения или запреты на возможные действия, отмена аксиомы как необходимости открывает дорогу свободному творчеству. В прошлом игнорирование аксиом приводило к преследованию, сегодня во всех отраслях знания, кроме социальных наук, она просто предлагает самоограничение, а то и меньше. Успех в применении нового знания или новых преимуществ, ставший следствием успешной замены некоторых изживших себя аксиом, традиционно выступает пропуском к уважению до тех пор, пока заново объявленная свобода сама не превратится в тиранию, ее сменят и откроют дорогу другой. Сухой остаток на стороне человеческой свободы, а не на стороне унаследованных абсолютов и навязанных традиций.

Успех Лобачевского, оспаривавшего аксиомы, был подхвачен другими. Нельзя утверждать, что его пример ускорил чей-то успех, следовавший за ним, поскольку его работа пребывала в полном забвении почти тридцать лет. В 1840-х годах, например, Уильям Роуен Гамильтон заменил одну из базовых аксиом классической алгебры. Аксиома «Порядок, в котором два числа умножаются друг на друга, не оказывает влияния на результат» необходима для классической алгебры. В алгебре, развитой Гамильтоном применительно к физическим наукам, эта аксиома была опущена. Казалось странным, что Гамильтон, живший почти тридцать лет спустя после Лобачевского, опубликовал свою работу и даже умер, не ведая о существовании неевклидовой геометрии. Но в свете личного успеха Гамильтона этот пример наглядно демонстрирует, что математики-созидатели как класс наконец-то начали осознавать неотъемлемую свободу собственных усилий. Когда же в итоге глубинное значение трудов Лобачевского и Гамильтона было оценено, замена аксиом в математике стала одним из общедоступных методов совершения прорывов. Свободные открытия расцвели без ограничений, не сдерживаемые традицией, и математика вступила в период беспрецедентной экспансии. Ближе к концу XIX века Георг Кантор смог выразить убежденность большинства математиков-созидателей в афоризме, ныне ставшем знаменитым: «Суть математики в ее свободе».