Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Кто решится обвинить энтузиаста, переступившего черту между фактом, поддающимся проверке, и предположением, не поддающимся проверке? Такое открытие, как закон музыкальных интервалов, любого человека изумит и заставит ликовать. Полную неожиданность обнаружения такого закона можно прочувствовать даже сегодня. Кто мог предположить, что пространство, число и звук объединены в одной гармонии, в одной соразмерности? Пространство попадает в тесную связь с длиной струны, число с отношениями, соответствующими музыкальным интервалам. Звуки различимы ухом; что общего у слуха с числами? И более неожиданно: почему обычные простые дроби целых чисел имеют какую-то связь с гармонией, которая является областью эстетики? Все эти внешне ничем не связанные явления и предметы, как оказалось, существуют не сами по себе и не столь уж различны. Они были проявлениями одной глубокой основополагающей действительности. Какова же суть этой действительности? Пифагор распорядился всеми сомнениями, объявив постулат, что «все сущее есть число».

Ослепленный своим неожиданным открытием Пифагор и его пораженные ученики упустили из виду сам экспериментальный метод, лежащий в основе открытия. Игнорируя метод, который открывал обществу доступ к научной цивилизации, они последовали за чистой абстракцией чисел по пути к ее конечной гротескной утонченности, лишенной смысла, – безнадежной нумерологии.

Экспериментальная физика в духе осознанного сомнения Пифагора не получила существенного продолжения вплоть до конца XVI столетия, когда Галилей начал с того места, где Пифагор остановился. В XIII столетии Роджер Бэкон, а некоторые другие ученые еще раньше от случая к случаю делали попытки повторно внедрить экспериментальный метод в теоретизированную науку, но Галилей был первым, кто последовательно применял этот метод и добился ощутимых результатов и за кем шло целое постоянно растущее воинство последователей. Он и Пифагор (в той части, где последний стоял на научных позициях) были очень схожи, и этим людям, больше чем любым другим в истории, западная цивилизация обязана всем, чем она является сегодня.

Не успеет великий философ разгадать тайну мироздания, как еще более великий философ опровергает разгадку. Иногда сам отгадыватель обнаруживает роковой изъян в своей отгадке. И тогда ему предстоит решить, как поступить дальше, а выбор у него небольшой: признать, что он ошибался; исправить решение и довести его до совершенства; попытаться скрыть открытие, развенчивающее его достижения.

Как ни трудно в это поверить, Пифагор, как утверждают некоторые, выбрал единственный постыдный вариант поведения, когда понял, что не все сущее есть число, в том смысле, который он в это вкладывал. К счастью для поклонников учителя, легенды о нем столь путаны, беспорядочны и противоречивы, особенно в этом драматичном моменте, что они фактически отменяют друг друга. Возможно, с позиций нашего времени не имеет никакого значения, как поступил Пифагор, когда случайно наткнулся на неразрешимую несоразмерность, которая разрушила его числовую гармонию вселенной. Для естествознания, математики и философии важно лишь то, что его великое обобщение было разрушено. Разрушение постулата Пифагора, гласившего, что «все сущее есть число», в том смысле, в котором он был выдвинут первоначально, стало коренной революцией в развитии всех трех дисциплин.

Под «числами» Пифагор подразумевал простые целые числа и дроби или «пропорции», полученные при делении одного целого числа на другое, типа ³/₄, ¹¹/₉, ⁶/₂₅ и т. д. Все они – целые числа и дроби – называются рациональными числами.

На тот момент, когда Пифагор утверждал, что «все сущее есть число», это были единственные известные числа, придуманные или найденные. Из этого великого обобщения вытекало, что и сторона, и диагональ любого квадрата выражаются рациональными числами. Но вскоре было доказано, что, если сторона квадрата выражается (рациональным) числом, диагональ того же самого квадрата не может быть выражена любым (рациональным) числом. Это разрушало чрезмерно простое обобщение, что все сущее является числом.

Сегодня суть этого формулируется так: «Квадратный корень из двух является иррациональным числом». Где был квадратный корень из двух прежде, чем его обнаружили пифагорейцы? Существовало ли это «число» в природе только для того, чтобы его нашел Пифагор или его ученики? Или оно было изобретено великими математиками, которые появились после Пифагора? Эти математики, особенно Евдокс (прославившийся около 370 года до н. э.), разработали математическую теорию «величин» (таких, как длина, площадь и объем), которая давала четкое объяснение существования «величин», необходимых для измерения любой конечной длины.