Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

«Гармоническая прогрессия» и среднее «гармоническое значение», не выраженное явно в важном открытии, является результатом нумерологического выражения закона музыкальных интервалов, который вдохновил Пифагора на его изречение «Все сущее есть число». Он и его ученики искали музыку и гармонию в четырех элементах всех материальных вещей и небесных тел. То, что они нашли искомое, не столь удивительно, когда мы вспомним, что вся гармония, весь космос, все предметы и все тела, небесные и земные, вписаны в декады, которые в основе всего. После того как Платон изложил теорию, продолжив по окончании доказательства, что все есть единица, а следовательно – божество: «Если теперь рамки вселенной были созданы просто как поверхность без глубины, единица приобрела значение достаточное, чтобы объединить ее с другими условиями. Но поскольку мир должен быть тверд, а твердые тела всегда плотные, и не по одной причине, а по двум, бог дал воду и воздух как среднее значение между огнем и землей и, насколько это возможно, заставил их придерживаться пропорции, поскольку огонь нужен воздуху, воздух нужен воде, а если воздух нужен воде, то вода нужна земле. Так он создал и объединил видимые и осязаемые небеса. Вне четырех элементов он расположил тела во Вселенной в совершенной гармонии и пропорции (совершенной пропорции). Будучи, таким образом, наделенным духом дружбы, в полном единении с самим собой, космос стал неразрушимым для любой другой руки, кроме руки творца».

Не вдаваясь в детали этого конкретного утверждения об основных принципах, отметим, что «дух дружбы» относится к любопытным особенностям конкретных пар чисел, открытых пифагорейцами. Если каждое из чисел m, n равно сумме делителей эфира, то т, п называются «дружественной парой чисел», а m, n становятся «дружескими», или «дружественными», числами. Что касается делителей «совершенных чисел», само число не рассматривается как делитель. Наименьшие «дружественные числа» – это 220 и 284. Пифагорейцы рассматривали этот близкий союз между «дружественными числами» как концентрированное выражение дружбы и глубоко спрятанную душу гармонии.

Платон подвел итог своему рассказу о создании мироздания абсолютно нумерологическим отрывком, в котором показал, что бог одарил мир любовью к универсальному Животному, «содержащему в себе всех других животных». Доказательство, что это Мировое Животное не знает смерти и разложения, как у других животных, включая человека в его бренном теле, было невразумительно даже для нумерологии. Цитируемая часть, однако, представляет глубокий научный интерес, при этом науку следует понимать в духе пифагорейцев. Двух-трех комментариев хватит для ясного понимания. Следующий текст – просто краткий курс пифагорейской космогонии и космологии.

Правильное твердое тело – это тело, стороны которого составляют правильные многоугольники, одинаковые по размеру и форме. Если быть точным, пять правильных тел возможны и могут быть построены в нашем трехмерном пространстве (Евклида). Первое – это тетраэдр, у которого четыре равносторонних треугольника составляют стороны, второе – куб, или шестигранник, у которого шесть квадратов составляют стороны, третье – восьмигранник, где восемь равносторонних треугольников составляют стороны, четвертое – двенадцатигранник, у которого двенадцать правильных пятиугольников составляют стороны, и пятое – это двадцатигранник, у которого двадцать равносторонних треугольников составляют стороны. Четырехгранник, шестигранник, восьмигранник, двадцатигранник, но не двенадцатигранник были известны Пифагору. И когда ранние пифагорейцы ошибочно предположили, что возможно создание и существование только четырех правильных тел (очень скоро Платон докажет существование пяти), это вдохновило их на доказательство, что все четыре соответствуют четырем базовым элементам материальных тел.

В качестве умозрительного предположения, которое они приложили к своей космической нумерологии, они представили свой постулат, что четыре элемента: огонь, воздух, земля и вода – соответственно есть четырехгранник, восьмигранник, шестигранник (или куб) и двадцатигранник. Гранями у всех фигур, кроме шестигранника, являются треугольники. Этот недостаток был легко преодолен путем деления каждой грани куба на два треугольника простым проведением диагонали по площади. Таким образом, как отмечает Платон в «Тимее», речь теперь шла только о треугольниках. Числа, соответствующие треугольникам, олицетворявшим элементы, стали 4, 8, 12, 20. Затем эти числа, коль нумерология настаивала на том, могли быть использованы как числа, которые «олицетворяли» элементы: огонь, воздух, землю и воду – соответственно.