Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Отступление

Почему x^–1 = 1/x? Конкретнее, почему 5^–1 = 1/5? Взгляните на такую закономерность:

5³ = 125, 5² = 25, 5¹ = 5, 5⁰ =? 5^–1 =?? 5^–2 =???

Обратите внимание, что с каждым уменьшением степени на единицу число делится на 5, что имеет для нас смысл, если над этим задуматься. Ведь тогда 5⁰ = 1, 5^–1 = 1/5, 5^–2 = 1/25 и так далее. Настоящая же причина этого – правило действий со степенями, согласно которому x^ax^b = x^a+b. Лучше всего он работает, когда a и b – положительные и целые величины. Так, x² = x · x, а x³ = x · x · x. Значит,

x²x³ = (x ∙ x) ∙ (x ∙ x ∙ x) =x⁵

Если мы хотим, чтобы правило работало при значении степени, равном 0, необходимо, чтобы

x^a+0= x^ax⁰

а так как левая часть становится равна x^a, этому же значению должна быть равна правая часть, что возможно только при x⁰ = 1.

Желание же применить закон к отрицательным величинам вынуждает нас признать, что

x¹x^–1= x^1+(–1)= x⁰=1

Разделим обе части на x и получим, что x^–1 должен равняться 1/x. По той же причине x^–2 = 1/x², x^–3 = 1/x³ и т. д.

Применение закона к целым величинам дает

x^½x^½= x^½+½= x¹ = x

Следовательно, умножая x^½ на x^½, мы получаем x, а это значит, что x^½ = √x (при условии, что x является положительным числом).

Вычисление Y (и Х, само собой!)

Предлагаю закончить главу тем же, с чего мы начинали – с алгебраической магии.

Шаг номер 1. Задумайте два числа от 1 до 10.

Шаг номер 2. Сложите их между собой.

Шаг номер 3. Умножьте сумму на 10.

Шаг номер 4. Прибавьте большее из загаданных чисел.

Шаг номер 5. Теперь вычтите меньшее.

Шаг номер 6. Скажите мне результат, и я назову оба загаданных вами числа.

Хотите – верьте, хотите – нет, но одного этого достаточно, чтобы узнать, с чего все начиналось. Например, если в результате получилось число 126, значит, скорее всего, вы загадали 9 и 3. Даже если повторить этот фокус несколько раз подряд, изумленная аудитория вряд ли догадается, как вы это делаете.

А секрет вот в чем. Чтобы узнать большее число, возьмите последнюю цифру результата (в нашем случае это 6), прибавьте к предшествующему ей числу (то есть 12) и разделите на 2. Так мы узнаем, что первое число – (12 + 6)/2 = 18/2 = 9. Второе число можно найти, вычтя из первого (9) последнюю цифру ответа, то есть 9 – 6 = 3.

Вот еще пара примеров – попрактиковаться. При ответе 82 большее из загаданных чисел – (8 + 2)/2 = 5, меньшее – 5 – 2 = 3. При ответе 137 большее – (13 + 7)/2 = 10, меньшее – 10 – 7 = 3.

Как же все-таки это работает? Допустим, загаданные вами числа – это X и Y, при этом X больше или равен Y. Согласно алгебраическим методам и инструкциям, показанным в таблице, мы увидим, что после пятого шага получается 10(X + Y) + (X – Y).

И какой от этого толк, спросите вы? Обратите внимание, что число, получающееся после 10(X + Y) будет обязательно заканчиваться на 0, а цифра (или цифры) перед этим нолем – сумма X + Y. Так как X и Y у нас находятся в пределах от 1 до 10, а X больше или равен Y, разность X – Y неизбежно будет однозначным числом (от 0 до 9). Это означает, что последней цифрой результата будет число, равное X – Y. Например, если вы загадывали 9 и 3, X = 9, а Y = 3. Значит, результат после пятого шага должен начинаться с X + Y = 9 + 3 = 12, а заканчиваться X – Y = 9 – 3 = 6, дающими вместе 126. А раз уж мы знаем X + Y и X – Y, мы можем взять их среднее арифметическое, чтобы получить ((X + Y) + (X – Y))/2 = X. В поисках Y мы можем посчитать ((X + Y) – (X – Y))/2 (в нашем случае – (12 – 6)/2 = 6/2 = 3), но мне куда более легким способом кажется просто взять большее число и вычесть из него последнюю цифру ответа (то есть 9 – 6 = 3), потому что X – (X – Y) = Y.