Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Складывая цифры результата, мы видим, что его цифровой корень – 5, а сумма цифровых корней равна 32, что подтверждает его правильность, потому что цифровой корень 32 – тоже 5. При проверке результата вычитания метод тоже отлично работает. Возьмем для примера те же числа, что были у нас в позапрошлом примере:

Разность будет равна 48 923, ее цифровой корень – 8. Работая с цифровыми корнями уменьшаемого и вычитаемого, видим, что 5 – 6 = –1. Но страшного в этом ничего нет – мы сделали все абсолютно правильно, потому что –1 + 9 = 8, да и прибавление (или вычитание) числа, кратного 9, к нашему ответу (или из нашего ответа) не меняет значение цифрового корня. По той же логике разница с 0 также верна при цифровом корне, равном 9.

А теперь неплохо было бы собрать вместе полученные нами знания и придумать еще один фокус (вроде того, который мы демонстрировали в предисловии). Просто следуйте инструкциям, хотите – с калькулятором, хотите – без.

1. Задумайте любое дву– или трехзначное число.

2. Сложите между собой его цифры.

3. Вычтите результат из задуманного числа.

4. Сложите между собой цифры полученной разности.

5. Если получилось четное число, умножьте его на 5.

6. Если нечетное – на 10.

7. Вычтите 15.

Получилось 75, да?

Если вы начали, например, с 47, вы сначала посчитали 4 + 7 = 11, а потом – 47 – 11 = 36. Дальше было 3 + 6 = 9 – нечетное число, умножив которое на 10, получаем 90, а 90 – 15 = 75. А может, вы начали с трехзначного числа – 831, например? Тогда 8 + 3 + 1 = 12, потом 831 – 12 = 819, а затем 8 + 1 + 9 = 18 – четное число. Дальше делаем 18 × 5 = 90, вычитаем 15 и получаем те же 75.

Секрет тут в том, что, если цифровая сумма изначального числа равна T, само число должно быть на T больше, чем ближайшее число, кратное 9. Когда мы вычитаем из загаданного числа T, мы гарантированно получаем результат, который можно разделить на 9 без остатка, при этом он меньше 999, а значит, сумма его цифр будет равна либо 9, либо 18 (если вернуться к нашему примеру с 47, цифровая его сумма – 11; мы вычитаем 11 до 36 с цифровой суммой 9). И после следующего шага единственным вариантом остается 90 (как произведение 9 × 10 или 18 × 5) и 75 – точно, как в наших примерах.

Теперь предлагаю посмотреть, как работает вычисление вычета по девятке с умножением. Возьмем те же числа и попробуем посчитать:

При умножении вычисление вычета по девятке работает на основе метода FOIL, о котором мы говорили в главе 2. Так, в нашем последнем примере цифровые корни справа говорят нам, что множители имеют формы 9x + 5 и 9y + 6, где x и y – целые числа. И когда мы их перемножаем, получаем

(9x+ 5)(9y+ 6) = 81xy+ 54x+ 45y+ 30 = 9(9xy+ 6x+ 5y) + 30 = (число, кратное 9) + (27 + 3) = (число, кратное 9) + 3

При делении вычисление вычета по модулю 9 обычно не используется, но я не могу не показать вам поистине чудесный метод деления на 9. Иногда его называют «ведическим». Возьмем

12 302 ÷ 9

Представим это в следующем виде:

Продублируем первую цифру над чертой, там же – но уже над последней цифрой – напишем литеру R (для обозначения остатка), вот так:

А дальше будем складывать числа попарно, как это показано чуть ниже, обводя их овалом, и записывать результаты над чертой. Сумма 1 и 2, обведенных овалом, равна 3, поэтому следующим числом нашего частного будет 3.

Потом 3 + 3 = 6.

Затем 6 + 0 = 6.

И завершаем все остатком: 6 + 2 = 8.

И вот наш ответ: 12 302 ÷ 9 = 1366 с остатком 8. Так легко, что даже не верится, правда? Приведем еще один пример:

31 415 ÷ 9

Чтобы сэкономить бумагу, сразу дадим полную картину:

Начиная вверху с 3, мы складываем 3 + 1 = 4, потом 4 + 4 = 8, потом 8 + 1 = 9, и в конце – 9 + 5 = 14. Получается 3489 и 14 в остатке. Но раз 14 = 9 + 5, нам нужно добавить 1 к частному, чтобы получилось 3490 и 5 в остатке.

А вот простой вопрос с чарующим своей стройностью ответом. Проверьте, пожалуйста (на бумаге или в уме), правильно ли, что

111 111 ÷ 9 = 12 345 с остатком 6

Мы уже знаем, что, если остаток равен или больше 9, мы просто вычитаем из него эту девятку, а к частному прибавляем 1. Примерно то же происходит, когда сумма складываемых нами при делении чисел превышает 9. Мы сначала это запоминаем, потом вычитаем из результата 9 и продолжаем считать так же, как и считали. Например, при решении 4821 ÷ 9, мы делаем вот что:

Начинаем мы с 4, но поскольку 4 + 8 = 12, единицу мы пишем над четверкой (чтобы не забыть), а потом вычитаем 9 из 12, чтобы дальше написать 3. Затем идет 3 + 2 = 5, а после этого – 5 + 1 = 6; в результате получаем 535 с остатком 6 – взгляните:

Когда слишком многое «идет на ум», вычислять становится сложнее. Попробуем 98 765 ÷ 9.