Читаем Магия математики. Как найти x и зачем это нужно полностью

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Самая интересное в таких сравнениях по модулю – что ведут они себя абсолютно так же, как и обычные уравнения. Вот почему мы можем пользоваться здесь модульной (модулярной) арифметикой, то есть арифметическими действиями над абсолютными значениями чисел и спокойно их складывать, вычитать и умножать. Например, если a ≡ b (mod m), а с – это любое целое число, верно будет, что

a+c≡b+c, аac≡bc(modm)

Итак, разнообразые сравнения можно складывать, вычитать и умножать. Например, если a ≡ b (mod m), а c ≡ d (mod m), значит,

a+c≡b+d, аac≡bd(modm)

Чуть более конкретно: так как 14 ≡ 2, а 17 ≡ 5 (mod 12), 14 × 17 ≡ 2 × 5 (mod 12), и это подтверждает, что 238 = 10 + (12 × 19). Следствием этого правила является то, что мы можем возводить сравнения по модулю в различные степени. Поэтому, если a ≡ b (mod m), действует следующее правило степени:

a²≡b² a³≡b³ ··· aⁿ≡bⁿ(modm)

при положительном целом значении n.

Отступление

Почему работает модульная арифметика? Например, если a ≡ b (mod m), а c ≡ d (mod m), значит, a = b + pm, а c = d + qm для целых значений p и q. Следовательно, a + c = (b + d) + (p + q)m, а a + c ≡ b + d (mod m). Далее, применив правило FOIL, получаем

ac =(b + pm)(d + qm)= bd +(bq + pd + pqm)m

Значит, ac и bd отличаются друг от друга на число, кратное m, что приводит нас к ac ≡ bd (mod m). Умножение соответствия a ≡ b (mod m) на само себя дает a² ≡ b² (mod m); повторение этого процесса опять-таки приводит нас к правилу возведения в степень.

То же правило возведения в степень делает число 9 таким особенным в десятеричной системе. Так как

10 ≡ 1 (mod 9)

то, согласно правилу возведения в степень, 10n ≡ 1n = 1 (mod 9) для любого значения n. Значит, например, число 3456 соответствует

3456 = 3(1000) + 4(100) + 5(10) + 6 ≡ 3(1) + 4(1) + 5(1) + 6 = 3 + 4 + 5 + 6 (mod 9)

А если 10 ≡ 1 (mod 3), становится понятно, почему мы можем простым сложением цифр определить, является ли число кратным 3 (или каким будет остаток при делении его на 3). Если бы мы проводили вычисления в другой системе – скажем, основанной на 16 (она называется шестнадцатеричной и используется в электротехнике и программировании), – то, исходя из 16 ≡ 1 (mod 15), мы могли бы простым сложением цифр определить, является ли число кратным 15 (или 3, или 5), или найти остаток при делении его на 15.

Но вернемся к более привычной десятеричной системе. Есть простой способ определить, кратно ли определенное число 11. Основывается он на том, что

10 ≡ –1 (mod 11)

Значит, 10ⁿ ≡ (–1)ⁿ (mod 11). Следовательно, 10² ≡ 1 (mod 11), 10³ ≡ (–1) (mod 11) и т. д. Число 3456, например, соответствует

3456 = 3(1000) + 4(100) + 5(10) + 6 ≡ –3 + 4 – 5 + 6 = 2 (mod 11)

То есть 3456 делится на 11 с остатком 2. Общее правило звучит так: число является кратным 11 только при условии, что мы приходим к числу, кратному 11 (например, 0, ± 11, ± 22….), при поочередном вычитании и сложении цифр. Давайте попробуем разобраться, делится ли число 31 415 на 11 без остатка? Достаточно посчитать 3 – 1 + 4 – 1 + 5 = 10, чтобы понять, что не делится, но сумма цифр следующего за ним целого 31 416 будет равна 11, поэтому 31 416 кратно 11.

Расчеты по модулю 11, кстати, используются для работы с ISBN[4]. Допустим, у вас есть книжка с десятизначным ISBN (номер с таким количеством цифр присваивался большинству книг до 2007 года). Эти цифры обозначают страну, в которой была издана книга, издательство и название, все, кроме последней, десятой, которую еще называют контрольной, – она нужна для того, чтобы превращать нагромождение цифр в стройную систему. То есть если десятизначный номер выглядит как a-bcd-efghi-j, тогда j выбирается на том основании, чтобы соответствовать