Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Отступление

Из основной теоремы арифметики вытекает любопытное следствие, касающееся простых чисел (вы можете найти его доказательство практически в любом учебнике, причем на первых страницах): если простое число p является делителем произведения двух или более чисел, оно также должно являться делителем одного из них. Например, поскольку

999 999 = 333 × 3003

кратно 11, то 11 должно быть делителем либо 333, либо 3003 (на деле – только последнего сомножителя: 3003 = 11 × 273). В случае составных чисел это правило работает не всегда: так, 60 = 6 × 10 делится на 4, несмотря на то что 4 не является делителем ни 6, ни 10.

Чтобы показать уникальность каждого разложения на множители, пойдем от обратного – предположим, что одно и то же число можно представить несколькими отличными друг от друга произведениями. Допустим, N – наименьшее из чисел, которые можно разложить на простые сомножители двумя разными способами. Скажем,

p₁p₂…p_r=N=q₁q₂…q_s

где все значения p_i и q_j суть простые величины. Так как p₁ очевидно кратно N, оно должно быть делителем одного из значений q_j. Облегчим себе задачу и предположим, что это q₁. Тогда, поскольку q₁ – величина простая, у нас должно получиться q₁ = p₁. Разделив все части уравнения на p₁, приходим к

что означает, что число может быть разложено на множители двумя разными способами, а это противоречит нашему условию, что N есть наименьшее из таких чисел.◻

Отступление

Кстати, существуют такие системы счисления, где далеко не каждое число раскладывается на множители единственным способом. На Марсе, например, у каждого по две головы, поэтому марсиане понятия не имеют, что такое нечетные числа, пользуясь исключительно четными:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30…

В марсианской системе числа вроде 6 или 10 будут считаться простыми, потому что их нельзя разложить на меньшие четные числа. А отличить простые числа от составных (которые, кстати, чередуются в ряду с завидной регулярностью) не составляет никакого труда: если число делится на 4 без остатка – оно составное (потому что 4k = 2 × 2k), если не делится – простое (6, 10, 14, 18 и т. д.), ведь его нельзя представить в виде двух меньших четных чисел.

Но давайте посмотрим на число 180:

6 × 30 = 180 = 10 × 18

Очевидно, что оно может быть разложено на множители двумя разными способами, а значит, ни о какой уникальности на Марсе и слыхом не слыхивали.