Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

83 = 64 + 16 + 2 + 1

Запишем это двоичным кодом, заменяя каждое возведенное в степень число 2 единицей, а каждое пропущенное значение 2 в степени – нолем. В нашем примере это 83 = (1 × 64) + (0 × 32) + (1 × 16) + (0 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1). Следовательно, в двоичной системе число 83 выглядит так:

83 = (1010011)₂

Как удостовериться, что в таком виде можно представить любое положительное число? Предположим, что каждое число от 1 до 99 есть уникальная сумма степеней основания 2. Сможем ли мы представить в столь же уникальном виде число 100? Начнем с наибольшей степени основания 2, которая меньше 100, то есть с 64. (Почему именно 64? Да потому что меньшие значения – 1, 2, 4, 8, 16 и 32 – дадут в сумме лишь 63, а значит, 100 нам никак не получить.) Остается добрать 36 – точно так же, с помощью чисел, которые получаются от возведения 2 в разные степени. Как это сделать? Проще всего – следуя той же логике, что и с сотней, то есть начать с самого большого подходящего нам числа. Так как 36 = 32 + 4, значит 100 = 64 + 32 + 4, в двоичной системе – (1100100)₂. Обобщив это (с помощью так называемого убедительного индуктивного подтверждения), приходим к выводу, что любое положительное число имеет уникальное двоичное представление.

Простые числа

Как мы только что убедились, любое положительное целое число может быть представлено в виде уникальной суммы различных степеней числа 2. В принципе, можно говорить, что числа, получаемые при возведении 2 в последовательные степени – это строительные блоки, из которых складываются положительные целые числа.

Примерно то же справедливо и отношении простых чисел и умножения: любое положительное целое число можно представить в виде произведения простых чисел (с той лишь разницей, что простые числа изучены куда меньше, чем степени основания 2, и знаем о них мы далеко еще не всё).

Простым числом называется целая положительная величина, имеющая только два делителя: 1 и само себя. Вот некоторые из них:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53…

Число 1 простым не является: у него всего один делитель (хотя, конечно, не только поэтому – есть и более веские причины, о которых мы поговорим чуть позже). Обратите также внимание: в этом ряду всего лишь одно четное – 2, что явно (а можно сказать и – выгодно) отличает ее от остальных простых чисел.

Положительное целое число, для которого имеются 3 и более делителя, называется составным, ведь его можно разложить на более простые. Вот они:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30…

Так, у четверки всего три делителя (1, 2 и 4), у шестерки – четыре (1, 2, 3 и 6) и так далее. Обратите внимание, что числа 1 нет и здесь. Математики называют его единицей, числом с уникальным свойством – быть делителем абсолютно любого целого числа.

Каждое составное число может быть представлено в виде произведения простых чисел. Возьмем для примера 120. Можно начать с 120 = 6 × 20. Но и 6, и 20 – тоже составные. Разложим их сразу на простые: 6 = 2 × 3, 20 = 2 × 2 × 5. Следовательно,

120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³3¹5¹

Примечательно то, что, на какие бы составляющие мы ни разложили начальное число, результат получится абсолютно тот же. Причина тому – теорема о единственности разложения, основная теорема арифметики, согласно которой каждое положительное целое число больше 1 раскладывается на произведение простых чисел единственным способом, включая порядок следования сомножителей.

Здесь-то, кстати, и кроется настоящая причина того, что число 1 не может быть названо простым: будучи простым, оно бы делало эту теорему несостоятельной. Ведь тогда 12, например, можно было бы представить не только как 2 × 2 × 3, но и как 1 × 1 × 2 × 2 × 3, и разложение на простые числа не было бы уникальным.

Однажды разложив число, вы узнаете всю его подноготную. В детстве моим любимым числом была девятка, но с возрастом я узнавал и другие, куда более сложные (вроде π = 3,14159…, φ = 1,618…, e = 2,71828… или число i, которое не может быть представлено в виде десятичной дроби, о чем мы подробно поговорим в главе 10) и влюблялся в них без памяти. Какое-то время моим фаворитом было 2520 – наименьшее из чисел, которые делятся на все числа от 1 до 10. Вот как оно выглядит при разложении на простые множители:

2520 = 2³3²5¹7¹

Зная положительные множители, вы можете узнать и положительные делители – вернее, их количество. Так, любой из делителей 2520 должен сводиться к форме 2^a3^b5^c7^d, где a может быть равно 0, 1, 2 или 3 (четыре варианта), b – 0, 1 или 2 (три варианта), а с – 0 или 1 (два варианта). Следовательно, согласно правилу произведения, 2520 имеет 4 × 3 × 2 × 2 = 48 положительных делителей.