Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

И хотя для того, чтобы подтвердить это предположение, достаточно пары нехитрых вычислительных операций, побалуем себя изысканным геометрическим подходом (доказательство получится очень долгим и немного запутанным, поэтому, если хотите, можете особо в него не вчитываться, а то и вовсе пропустить).

Доказательство: Предположим, что точка P располагается абсолютно в любом месте на верхней прямой, а точка Z располагается прямо над точкой Y. (Точнее говоря, точка Z должна быть расположена так, чтобы линия YZ, проведенная от нее в точку Y, была строго перпендикулярна как нижней, так и верхней прямым, как показано на рисунке чуть ниже.) Продолжим линию YZ до точки Y´так, чтобы отрезок Y´Z был равным отрезку ZY. Другими словами, если бы верхняя прямая была зеркалом, точка Y´ была бы отражением точки Y.

Треугольники PZY и PZY´ будут конгруэнтными согласно аксиоме по двум сторонам и лежащему между ними углу: PZ = PZ, ∠PZY = 90° = ∠PZY´, а ZY = ZY´. Следовательно, PY = PY´, из чего и будем исходить далее.

Периметр треугольника YXP есть сумма длин трех отрезков:

YX + XP + PY

а так как мы только что доказали, что PY = PY´, тот же периметр можно представить в виде

YX + XP + PY´

Длина YX не зависит от P, так что задачу по поиску ее местонахождения можно упростить до поиска наименьшего значения XP + PY´.

Отрезки XP и PY образуют ломаную линию, которая соединяет точки X и Y´. Но так как наиболее кратким путем между двумя точками будет не ломаная, а прямая линия, в оптимальном варианте точка P* должна располагаться на одной прямой с точками X и Y´, причем на месте ее пересечения с верхней горизонталью, как на рисунке ниже. Все? Нет, еще не все: нам же нужно доказать, что P* находится точно над центральной точкой отрезка XY.

Обозначим точку, находящуюся прямо под точкой P* буквой M. Отрезок P*M при этом будет перпендикулярен XY. Так как верхняя прямая параллельна нижней, длина P*M должна быть равна длине ZY. В принципе, это понятно и так, ведь расстояние между двумя параллельными прямыми равно всегда – хоть на видимом участке, хоть в бесконечности, – но дополнительным подтверждением тому является отрезок MZ, который дает нам два конгруэнтных (согласно теореме – по двум углам и прилежащей к одному из них стороне) треугольника MYZ и ZP*M.

Чтобы доказать, что точка M лежит ровно в центре отрезка XY, докажем сначала подобность треугольников MXP* и YXY´. Обратите внимание, что ∠MXP* и ∠YXY´ суть один и тот же угол, ∠P*MX = ∠Y´YX, так как они оба прямые, а раз мы имеем полное совпадение в двух парах углов, совпасть должны углы и в третьей паре, чтобы в каждом треугольнике получилось по 180°. Каким будет масштабирующий коэффициент? Согласно построению,

YY´= YZ + ZY´= 2YZ =2MP*

поэтому масштабирующий коэффициент будет равен 2. Следовательно, длина XM составляет ровно половину от длины XY, а отрезок XM заканчивается ровно в центре отрезка XY.

Обобщая, мы можем утверждать, что для того, чтобы треугольник XYP имел наименьший периметр, точка P* верхней прямой должна располагаться точно над центральной точкой отрезка XY.◻

Порой геометрические задачи можно решить с помощью алгебры. Предположим, например, что отрезок AB лежит на поверхности с координатами (a₁, a₂) для точки A и координатами (b₁, b₂) для точки B. Тогда точка M, располагающаяся в середине этого отрезка, будет иметь координаты

как показано на графике. То есть если, скажем, A = (1, 2), а B = (3, 4), центром отрезка AB является точка M = ((1 + 3)/2, (2 + 4)/2) = (2, 3).

За этим кроется один полезный факт о треугольниках. Начертите треугольник и соедините друг с другом центральные точки любых двух его сторон. Видите, что получается? Ответ кроется в следующей теореме.

Теорема о центральных точках треугольника: В треугольнике ABC линия между центральной точкой стороны AB и центральной точкой стороны BC будет параллельна стороне AC. Более того, при длине стороны AC, равной b, длина отрезка, соединяющего центральные точки двух других сторон, будет равна b/2.

Доказательство: Поместим треугольник ABC на плоскость так, чтобы точка A располагалась в координатах (0, 0), сторона AC была строго горизонтальной, а точка C, таким образом, имела координаты (b, 0), как показано на рисунке ниже. Обозначим координаты точки B как (x, y). Тогда центральная точка отрезка AB будет находиться в координатах (x/2, y/2), а центральная точка отрезка BC – в координатах ((x + b)/2, y/2). Так как у них одни и те же y-координаты, соединяющая их линия должна быть строго горизонтальна, то есть параллельна стороне AC. Более того, длина этой линии составит (x + b)/2 – x/2 = b/2, что и требовалось доказать.