Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Для треугольника с длинами сторон 3, 4 и 5 (см. рисунок) калькулятор может рассчитать ∠A тремя различными способами, каждый из которых будет основан на своей обратной функции:

∠A =sin^–1(3/5) = cos^–1(4/5) = tan^–1(3/4) ≈ 36,87° ≈ 37°

Самое время применять все эти знания на деле. В «геометрической» главе мы доказали теорему Пифагора, с помощью которой можно вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, зная длины его катетов. Здесь же, в главе «тригонометрической», мы можем сделать практически то же самое для любого треугольника. В этом нам поможет закон косинусов.

Теорема (закон косинусов): Длина стороны c любого треугольника ABC, в котором стороны a и b образуют ∠C, соответствует

c² =a² +b² – 2abcosC.

Для примера взгляните на изображенный ниже треугольник ABC. Между двумя его сторонами с длинами 21 и 26 лежит угол 15°. Согласно закону косинусов, длина третьей стороны с составит

c² = 21² + 26² – 2(21)(26) cos 15°

А так как cos 15° ≈ 0,9659, уравнение упрощается сначала до c² = 62,21, а потом и до c ≈ 7,89.

Отступление

Доказательство: Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим три частных случая – в зависимости от того, будет ли ∠C прямым, острым или тупым. Если ∠C – прямой, его косинус будет равен cos 90° = 0, что упрощает закон косинусов до c² = a² + b², то есть до уже доказанной нами теоремы Пифагора.

Если ∠C – острый (как на рисунке), опустим перпендикуляр из ∠B к стороне AC до лежащей на ней точки D. Получим два треугольника. Применим теорему Пифагора к CBD – a² = h² + x² и придем к

h² =a² –x²

Треугольник же ABD можно просчитать как c² = h² + (b – x)² = h² + b² – 2bx + x², то есть

h² =c² –b² + 2bx – x²

Составим из двух равных h² частей уравнение:

c² –b² + 2bx – x² =a² –x²

Следовательно,

c² =a² +b² – 2bx

В треугольнике CBD cos C = x/a, поэтому x = a cos C. Следовательно, если ∠C является острым, то

c² = a² + b² – 2ab cos C

Если же ∠C – тупой, дополним треугольник ABC прямоугольным треугольником CBD, как на рисунке:

Для него, как и для получившегося большого, верна теорема Пифагора: a² = h² + x² и c² = h² + (b + x)². Как и в случае с острым ∠C, соединим уравнения:

c² =a² +b² + 2bx

В треугольнике CBD cos (180° – C) = x/a, то есть x = a cos (180° – C) = –a cos C. И мы вновь приходим к искомому:

c² = a² + b² – 2ab cos C☺

Кроме того с помощью функций можно рассчитать площадь треугольника.

Сопутствующая теорема: В любом треугольнике ABC со сторонами a и b и лежащим между ними ∠C

Отступление

Доказательство: Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h равна Все три треугольника, рассмотренные при доказательстве закона косинусов, имеют основание b. Определим высоту h. В остроугольном треугольнике обратим внимание на то, что sin C = h/a, то есть h = a sin C. В тупоугольном треугольнике sin (180° – C) = h/a, поэтому опять имеем h = a sin (180° – C) = a sin C. В прямоугольном же треугольнике h = a, что равно a sin C, потому что C = 90°, а sin 90° = 1. Следовательно, так как во всех трех случаях h = a sin C, площадь треугольников составит что и требовалось доказать.

Следствия этой теоремы очевидны: