Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Другими словами, в треугольнике ABC (sin C)/c равен его удвоенной площади, разделенной на произведение длин трех его сторон. Какой угол выбрать, по большому счету не так уж и важно – (sin B)/b или (sin A)/a дадут нам тот же результат. И это доказывает одну очень полезную теорему.

Теорема (закон синусов): В любом треугольнике ABC, длины сторон которого соответственно равны a, b и c,

Закон синусов – это еще один способ вычислить высоту нашей горы. На этот раз мы сосредоточимся на a – диагонали, пролегающей между нами и вершиной:

Способ № 5 (закон синусов): В треугольнике ABD ∠BAD = 32°, а ∠BDA = 180° – 40° = 140°. Следовательно, ∠ABD = 8°. Согласно закону синусов получаем

Умножим обе части на sin 32°, что даст нам a = 300 sin 32°/ sin 8° ≈ 1143 метров. А так как sin 40 ≈ 0,6428 = h/a, то

h=asin 40 ≈ (1143)(0,6428) = 735

что полностью совпадает с ответом, к которому мы пришли в прошлом разделе.

Отступление

Не менее замечательна в этом отношении формула Герона, с помощью которой можно найти площадь треугольника по длинам его сторон a, b и c. Сначала мы находим полупериметр p:

А потом и площадь S:

S= √p(p – a)(p – b)(p – c)

Например, если взять треугольник со сторонами 3, 14 и 15 (узнаете первые пять цифр числа π?), полупериметр будет равен (3 + 14 + 15)/2 = 16, а площадь, таким образом, – √(16(16 – 3)(16 – 14)(16 – 15)) = √416 ≈ 20,4.

Несложно, правда? Уверен, внимательный читатель не сможет не заметить здесь закон косинусов, слегка приправленный алгеброй.

Тригонометрические тождества

Но этим возможности тригонометрических функций не ограничиваются. Они способны и на куда более интересные и запутанные взаимоотношения – так называемые тождества. Некоторые из таких тождеств мы уже наблюдали, например,

sin (–A)= –sinA

cos (–A) = cosA

Но их, конечно же, куда больше.

Из тождеств рождаются формулы, притом весьма полезные. Ими-то мы и займемся в этом разделе.

Первое тождество основывается на формуле единичной окружности:

x² + y² = 1

Под эту формулу должна подходить точка (cos A, sin A), принадлежащая единичной окружности. Следовательно, (cos A)² + (sin A)² = 1, из чего проистекает, пожалуй, наиболее важное тригонометрическое тождество.

Теорема: Для любого ∠A

cos²A+ sin²A= 1

До сих пор все произвольные углы мы обозначали буквой A. Но это не значит, что вы обязаны всегда так делать, можно брать и другие буквы, например, x:

cos²x+ sin²x= 1

В тригонометрии для этой цели часто используется греческая буква θ (тета) –

cos² θ + sin² θ = 1

А бывает и так, что вообще ничего не используется:

cos² + sin²= 1

Но перед тем как доказывать какое бы то ни было тождество, нужно найти длину отрезка прямой. В этом нам поможет теорема Пифагора.

Теорема (формула расстояния между двумя точками): Обозначим длину отрезка прямой от точки (x₁, y₁) до точки (x₂, y₂) буквой L. Тогда

Например, длина отрезка от точки (–2, 3) до точки (5, 8) равна

Доказательство: Возьмем две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂). Начертим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок, соединяющий эти точки. На рисунке выше длина основания равна x₂ – x₁, а высота – y₂ – y₁. Следовательно, согласно теореме Пифагора, гипотенуза L равна

L² = (x₂ –x₁)² + (y₂ –y₁)²

то есть что и требовалось доказать.

Отступление

Чему будет равна диагональ в коробке размером a × b × c? Возьмем прямоугольник, образующий дно этой коробки, и обозначим пару противоположных его углов буквами O и P. Длина и ширина при этом будут равны соответственно a и b, а диагональ OP – √(a² + b²).

Теперь проложим линию c от точки P к точке Q, образующей угол, противолежащий O. Чтобы найти расстояние от O до Q, нам понадобятся длины катетов прямоугольного треугольника и c. Применим к ним теорему Пифагора и получим, что длина диагонали OQ равна