Математическая планета. Путешествие вокруг света

И вновь к решению нас приведет теорема Пифагора. Пусть радиусы окружностей удовлетворяют соотношению r₁ > r₂ > r₃ которое мы узнаем, применив теорему Пифагора. Для этого выделим треугольник, образованный вершинами окружностей и радиусами, которые проведены к общей касательной к окружностям.

Мы получим новые прямоугольные треугольники, в которых можно применить теорему Пифагора. Обозначив через d₁ и d₂ основания прямоугольных треугольников с гипотенузами r₁ + r₃ и r₂ + r₃ получим:

(r₁+ r₂)² = (r₁ — r₂)² + (d₁ + d₂)²

(r₁+ r₃)² = (r₁ — r₃)² + d₁²

(r₂ + r₃)² = d₂² + (r₂ — r₃)²

Выразив d₁ и d₂ из второго и третьего равенства и подставив полученные выражения в первое равенство, имеем:

Полученное соотношение является двойственным к теореме Пифагора, что можно заметить, записав квадратные корни как степени с дробным показателем:

Как найти значения трех радиусов, удовлетворяющих этому соотношению?

Имеет ли задача тройки целых или рациональных решений? Если мы рассмотрим числа, обратные квадратам натуральных чисел, то получим окружности, обладающие следующими свойствами:

Они будут иметь вид, представленный на рисунке.

Божественные розы

Соприкасающиеся окружности стали источником вдохновения не только для средневековых японских монахов и самураев, но и для архитекторов европейских готических соборов. Эта композиция, в которой главная роль отведена кругу, представляет собой символ христианства той эпохи. Важнейший элемент художественной выразительности в готике — роза и различные решетки. Их узоры представляют собой огромный круг диаметром несколько метров, в который вписаны другие круги и ряды окружностей. В большинстве случаев все эти фигуры соприкасаются между собой, а также касаются большого круга. Роза в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне составлена из кругов, куда вписаны четыре соприкасающихся круга, которые также касаются круга, описанного вокруг них.

Фрагмент розы в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне.

Все элементы этих геометрических роз имеют свое символическое значение. Оригинальные рисунки и витражи соборов на протяжении веков не раз реставрировались, и лучше всего дух оригинала удалось сохранить в Шартрском соборе и соборе Парижской Богоматери. Женское начало традиционно связывается с ночью, Луной, прошлым и оттенками синего цвета. В Шартрском соборе женское начало представлено в розе на северном фасаде, в центре которой изображена дева Мария. Мужское начало, напротив, связывается с южной стороной, Солнцем, настоящим, желтым и красным оттенками. Именно поэтому изображение Христа в Царствии Небесном расположено в центре розы на южном фасаде собора.

Геометрия также составляет основу символических изображений персонажей.

Подобие форм или пропорции указывают на связи между деталями изображений, в которых каждый элемент играет свою роль. Не случайно и то, что розы делятся на 6, 8, 12, 16 или 24 круговых сектора или же представляют собой последовательность концентрических окружностей.

В испанском городе Сабадель в провинции Барселона есть мастерская, которая занимается исключительно витражами в свинце. Сначала мастера выполняют рисунок на бумаге в масштабе 1:10, а затем изготавливают витраж в натуральную величину. Раньше переход от чертежей к витражам выполнялся на глаз и при помощи пантографа, но сегодня в этом процессе используются новые технологии. Проектор позволяет воспроизвести выполненные на бумаге непрозрачные фигуры в натуральную величину на другой плоской поверхности.

Чтобы придать витражам желаемую форму, между соседними стеклами нужно оставлять зазор в 1,2 мм. Вместо того чтобы проводить линию с нужным зазором параллельно контурам фигуры, мастера используют ножницы с тройным лезвием, и необходимый зазор получается автоматически.

Ножницы с тройным лезвием обеспечивают нужный зазор постоянной ширины в 1,2 мм.

Два элемента рисунка соединяются с нужным зазором в 1,2 мм.

Перенос кривых также осуществляется автоматически с помощью гибкого лекала — резиновой полоски с металлическим сердечником, сохраняющей придаваемую ей форму. Гибкое лекало позволяет легко преобразовать дуги окружностей объемных фигур в отрезки той же длины на плоскости.

Гибкое лекало сохраняет придаваемую ему форму.

Еще одна геометрическая задача, с которой сталкиваются витражисты, заключается в воспроизведении пропорциональных кривых. Эта задача решается при помощи циркуля, как показано на следующей странице. Кривые пропорциональны, если заключенный между ними отрезок перпендикуляра, пересекающего обе кривые, имеет постоянную длину.

Циркуль указывает расстояние между двумя соответствующими точками пропорциональных кривых.