Математическая планета. Путешествие вокруг света

МУЗЫКА ГАМЕЛАНА

Гамеланы, народные оркестры островов Бали и Ява (Индонезия), состоят из одного или двух больших гонгов, двух барабанов, как минимум четырех пар тарелок, двух групп маленьких гонгов по 8-14 в каждой и флейт. Наиболее характерная секция гамелана — металлические ксилофоны разных размеров, состоящие из 7-12 брусков, на которых играют специальными молоточками.

Композиции, исполняемые гамеланами, делятся на ярко выраженные циклические секции, описываемые степенями двойки. Эти секции состоят из 2, 4, 8, 16 или 32 тактов. Степени двойки также определяют скорость исполнения: орнаментирование исполняется в 4 или 8 раз быстрее основной мелодии, а та, в свою очередь, в 4 или 8 раз быстрее, чем упрощенные версии мелодии. Удвоение скорости исполнения способствует сохранению ритма и придает музыке характерную динамичность.

* * *

Салфетки и оригами

Во всех ресторанах крупнейшего архипелага мира, Индонезии, бумажные салфетки складывают особым образом. В любом индонезийском варунге салфетки складываются своим способом, но официантки во всех ресторанах, от запада Суматры до востока Папуа, умеют складывать салфетки в характерном индонезийском стиле.

Стол в индонезийском варунге.

Схема складывания салфеток в трех разных кафе.

Квадратная салфетка складывается так, что линии сгиба делят прямой угол при одной из ее вершин на три равные части. Таким образом получается симметричный четырехугольник с прямым углом, углом в 30° и двумя углами в 120°.

Салфетка, сложенная в индонезийском стиле.

Долгое время я думал, что официанты складывают салфетки так же, как я, то есть прикладывают угол салфетки к середине противоположной стороны:

Схема складывания салфетки, в которой угол накладывается на серединный перпендикуляр так, что нижняя вершина остается на своем месте.

Получится прямоугольный треугольник. Один из его катетов равен половине гипотенузы, следовательно, угол этого треугольника равен 30°. Когда мне довелось увидеть, как официантки складывают салфетки, я решил, что мое предположение справедливо — они явно прикладывали угол салфетки к середине противоположной стороны.

Однако я ошибался. Расспросив официанток, я понял, что они в самом деле применяли геометрический метод, но далекий от моих предположений, — они старались согнуть салфетку так, чтобы разделить угол при вершине в соотношении 1:2. Вместо того чтобы прикладывать угол салфетки к середине противоположной стороны, они прикладывали сторону к центру салфетки, не складывая ее. Иными словами, они проводили биссектрису оставшейся части угла, полученного при сгибе. Этот метод был внешне неотличим от моего, и я смог понять разницу, только тщательно расспросив официанток.

Математическая идея, на которой основан этот метод, такова: 3 = 1 + 2. Обозначив через R оставшуюся часть угла, полученного при сгибе А, получим:

90° = R + 2·A.

Так как мы хотим, чтобы согнутый угол совпадал с оставшимся углом, прямой угол салфетки окажется разделен на три части:

Проекция математических идей заключается в том, чтобы при помощи математики объяснить события, которые необязательно имеют математическую природу либо действительно описываются математически, но не так, как кажется. Не стоит пытаться математически объяснить мысли и действия других людей, иначе легко попасть в неловкое положение: человек, который нам покажется несведущим в математике, может оказаться гораздо более компетентным, чем многие вокруг.

Глава 5 Этноматематика в повседневной жизни

Народная логика

Даяки (Борнео)