Математическая планета. Путешествие вокруг света

Чтобы построить непрерывную линию, проходящую через все точки сетки двух строк А и В и N столбцов (где N нечетное, то есть имеет вид N = 2·k + 1), нужно следовать алгоритму:

N = 2·k + 1:

к четное: {А(1), В(2), А(4), В(6), …, А(2·k), В(N)};

к нечетное: {А(1), В(2), А(4), В(6), …, А(2·k), A(N)}.

Некоторые колам образованы одной кривой, подобно бесконечному узлу, но большинство узоров состоят из нескольких линий.

Колам из трех линий.

Этот колам образован тремя кривыми. Две из них одинаковы: одна получается из другой поворотом на 90°. Обе эти кривые симметричны относительно поворота на 180°. Третья кривая образует фигуру, симметричную относительно поворота на 90°. Она построена на двойной сетке из 25 точек, которые расположены в виде двух квадратов размерами 3 х 3 и 4 х 4, причем первый находится внутри второго.

Колам.

Традиция изображать колам на юге Индии насчитывает несколько веков, и ее истоки, возможно, лежат в культурах Центральной Африки. В этих узорах математическая мысль состоит не столько в симметричности итоговых фигур, сколько в четких методах построения. Именно женщины являются хранителями многовековой традиции и математических знаний, которые ежедневно используются в домашнем хозяйстве. Методы изображения колам передаются от матери к дочери, совершенствуются и достигают таких высот, что ими восхищаются математики всего мира.

Лозоплетение

В одиннадцатой главе трактата «Дао дэ цзин» отмечается, что полезность колес, сосудов и окон проистекает из их пустоты. В самом деле, люди с доисторических времен стремятся отделить небольшие участки бесконечного пространства, которое нас окружает, создавая границы: для колеса нужна окружность, для сосуда — сферическая поверхность, для окна — плоская стена с отверстием в нем.

В разные годы были созданы самые разные плоские и криволинейные поверхности из бесконечного множества материалов и бесконечным множеством способов. Чаще всего для создания поверхностей и объемных тел применялось плетение волокон растений — этим методом создаются как плоские поверхности — циновки рогожи, стены и крыши домов, так и объемные фигуры — корзины, клетки, загоны для птицы и мячи для игры в сепактакрау (разновидность волейбола в Юго-Восточной Азии, но игра происходит не руками, а ногами).

Творческие способности и умения мастеров со всего света заслуживают восхищения как с художественной точки зрения, так и с точки зрения технологий. Паулус Жердес, исследователь этноматематики из Мозамбика, изучил узоры и формы, применяемые мастерами плетения из лозы. Среди геометрических задач, связанных с лозоплетением, выделяется следующая: каким должен быть угол сгиба, если нужно обернуть один прут вокруг другого прута такой же толщины? Ответ — 60° — определяется при помощи тригонометрических расчетов. На практике этот угол определяется складыванием лозы вдвое, как показано на рисунке.

Богатство орнаментов в лозоплетении.

Мячи для игры в сепактакрау

Мячи для игры в сепактакрау во всей Юго-Восточной Азии изготавливаются из ротанга, который также используется для изготовления мебели. Ротанг напоминает ивовый прут, но в сечении эти стебли ротанговой пальмы не округлые, а плоские. Ротанг гибкий, но очень прочный, и сломать его нелегко даже при ударах ногами, как во время игры в сепактакрау.

Мастер демонстрирует мяч для игры в сепактакрау.

Мастера, изготавливающие плетеные мячи, не используют никаких схем и не проводят никаких вычислений, но наблюдая за ними во время работы, сложно поверить, что почти идеальную сферу можно изготовить без помощи математики.

Впрочем, математика все же используется, хоть и не в явной форме.

В математике сфера определяется как множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от точки, называемой центром. Однако при изготовлении мячей для игры в сепактакрау это определение бесполезно. Суть метода плетения идеальных мячей (если пренебречь неизбежными погрешностями и неровностями самого ротанга) заключается не в определении центра и радиуса сферы, а построении многогранника постоянной кривизны. Мастер начинает работу с того, что сплетает пять стеблей ротанга в форме как можно более правильного пятиугольника. Затем мастер выбирает несколько вершин пятиугольника и продевает в них новые стебли. Концы этих стеблей связывают, и получается окружность, определяющая диаметр мяча.