Математические головоломки профессора Стюарта

– Наконец, констебль Ваггинс говорит нам, что цвет пиджака человека, чья фамилия соответствует цвету носков Грина, отличается от цвета брюк Брауна.

– Это позволяет исключить строку 8. Остается строка 2.

– Таким образом, нам остается только посмотреть, кто носил зеленые носки в строке 2. Как я и подозревал с самого начала, это был Уолли Уайт, одетый по схеме КБЗ.

Последовательные кубы

23³ + 24³ + 25³ = 12 167 + 13 824 + 15 625 = 41 616 = 204².

Эти числа можно найти простым перебором. Систематический метод состоит в том, чтобы обозначить среднее число n и записать, что (n – 1)³ + n³ + (n + 1)³ = 3n³ + 6n = m² для некоторого числа m. Таким образом, m² = 3n (n² + 2). Множители 3, n, n² + 2 не имеют общих делителей, кроме, может быть, чисел 2 и 3. Поэтому любой простой делитель больше 3 должен присутствовать как в n, так и в n² + 2 в четной степени (возможно, нулевой). Первые два числа, удовлетворяющие этому условию, – это 4 и 24, причем 24 является решением, а 4 не является.

Adonis Asteroid Mousterian

Буквы соответствуют следующим числам:

квадрат 3 × 3: A = 0, D = 3, I = 2, N = 0, O = 1, S = 6;

квадрат 4 × 4: A = 0, D = 12, E = 1, I = 2, N = 0, O = 3, S = 0, T = 4;

квадрат 5 × 5: A = 0, E = 1, I = 2, M = 0, N = 5, O = 3, R = 10, S = 15, T = 20, U = 4.

Теперь квадраты выглядят так:

Про магические квадраты и подобные конструкции см.: Jeremiah Farrell, Magic square magic, Word Ways 33 (2012) 83–92.

Статья доступна на сайте: http://digitalcommons.butler.edu/wordways/vol33/iss2/2

Два коротких вопроса на квадраты

1. 923 187 456, квадрат числа 30 384.

Поскольку нам нужно наибольшее число такого типа, можно смело предположить, что ответ начинается с 9, так что на самом деле этот вариант следует опробовать первым, даже если наше предположение окажется неверным. Таким образом, искомое число должно лежать между 912 345 678 и 987 654 321; следует также помнить, что все цифры различны и что нуля среди них нет. Квадратные корни из граничных чисел равны 30 205,06 и 31 426,96. Все, что нам остается сделать, – это проверить числа от 30 206 до 31 426 и посмотреть, какое из них даст нам ответ из девяти разных цифр. В этом интервале лежит 1221 число. Начав с числа 31 426 и продвигаясь в обратном направлении, мы рано или поздно доберемся до числа 30 384. Теперь, когда мы нашли решение задачи, начинающееся с цифры 9, нам не стоит волноваться о числах, начинающихся с 8 и остальных цифр.

2. 139 854 276, квадрат числа 11 826.

Ищется это число аналогичным способом.

Дело о картонных коробках

1. Размеры коробок составляли 6 × 6 × 1 и 9 × 2 × 2.

Пусть размеры коробок равны x, y, z и X, Y, Z. Тогда их объемы равны xyz и XYZ. Длина ленты равна 4 (x + y + z) и 4 (X + Y + Z). Исключив общий множитель 4, получим уравнения, которые необходимо решить:

xyz= XYZ

x + y + z = X + Y + Z

в ненулевых целых числах. То есть нужно найти две тройки чисел, произведение и сумма которых взаимно одинаковы. Наименьшее решение равно (x, y, z) = (6, 6, 1) и (X, Y, Z) = (9, 2, 2). Произведение равно 36, сумма равна 13.

2. Наименьшее решение для трех коробок равно (20, 15, 4), (24, 10, 5) и (25, 8, 6). Теперь произведение равно 1200, а сумма – 39.

По ходу дела мы можем ответить и на третий вопрос, который не фигурировал в расследовании Сомса.

3. Что, если коробки перевязаны лентами, как обычно (как на левом рисунке), где x – ширина, y – глубина, а z – высота? Тогда уравнения примут вид:

xyz = XYZ

x + y+ 2z = X + Y + 2Z.

Если мы заменим x, y, z на x, y, 2z и аналогично для X, Y, Z, то получится, что мы снова ищем тройки чисел с одинаковыми произведением (теперь это 2xyz = 2XYZ) и суммой. Однако при этом числа z и Z должны быть четными.

Это условие выполняется в решении (1), если мы расставим длины сторон в нужном порядке, что позволит нам получить наименьшее решение (6, 1, 3) и (9, 2, 1).

Мое внимание к этой задаче привлек Молой Де из Калькутты (Индия), нашедший также наименьшие наборы из четырех, пяти и шести чисел с одинаковыми произведениями и суммами.

Четыре набора:

(54, 50, 14) (63, 40 15) (70, 30, 18) (72, 25, 21)

Сумма = 118, произведение = 37 800.

Пять наборов:

(90, 84, 11) (110, 63, 12) (126, 44, 15) (132, 35, 18) (135, 28, 22)

Сумма = 185, произведение = 83 160.

Шесть наборов:

(196, 180, 24) (245, 128, 27) (252, 120, 28) (270, 98, 32) (280, 84, 36) (288, 70, 42)

Сумма = 400, произведение = 846 720.

RATS-последовательность

Следующий член последовательности – 1345.

Правило зашифровано аббревиатурой RATS и выглядит так: Reverse, Add, Then Sort («Перевернуть, сложить, затем сортировать»). Под «сортировать» подразумевается «расставить цифры в порядке возрастания». Любые нули при этом отбрасываются. К примеру: