Читаем Математические головоломки профессора Стюарта полностью

Математические головоломки профессора Стюарта

– Успокойтесь, Ватсап. Нет, я имел в виду скорее Матемагическую ассоциацию Нумерики. Это малоизвестная группа, и я сильно подозреваю, что она служит лишь официальным прикрытием для одной из дьявольских преступных схем Могиарти. Я сталкивался с ней и раньше, и теперь у меня в руках последнее, решающее звено, которое позволит нанести удар по зловещему профессору и навсегда разрушить эту часть его всемирной паутины преступлений. Если, конечно…

– Если что, Сомс?

– Если, конечно, мы сможем представить неопровержимые доказательства, когда дело дойдет до суда. Откуда мы знаем, что этот пятиугольник правильный?

– Но разве это не предельно просто?

– Напротив, вы скоро будете уверять меня, что это невероятно хитроумно и, может быть, вовсе не так, – хотя, говоря по существу, правильный ответ здесь совпадает с первой наивной догадкой. Осмелюсь предположить, что, как только мы установим этот факт, все остальное последует автоматически, но одного внешнего вида узла недостаточно. Однако я буду считать, что взаимное расположение линий на рисунке верно, так что у нас определенно есть пятиугольник с четырьмя диагоналями. Но действительно ли он правильный? В этом необходимо убедиться. Если это так, то этот факт должен следовать из постоянной ширины бумажной полоски. Обозначим углы так, как это делал великий Евклид из Александрии, и займемся геометрическими рассуждениями.

Я должен предупредить читателя, что остальная часть дискуссии будет интересна только тем, кто обладает некоторыми знаниями в евклидовой геометрии.

– Я начну, – объявил Сомс, – с нескольких простых наблюдений. Их можно доказать без большого труда с использованием базовой геометрии, так что подробности я опущу.

Во-первых, обратите внимание, что если две полоски, имеющие параллельные края, накладываются друг на друга, то в месте их перекрытия возникает ромб – параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. Более того, если два таких ромба имеют одинаковую высоту и одинаковую сторону, то они конгруэнтны, то есть обладают одинаковыми размерами и формой. Следовательно, на диаграмме расплющенного узла присутствуют три конгруэнтных ромба.

– Почему только три? – спросил я в недоумении.

– Потому что CD и BE не совпадают с краями бумажной полоски, так что мы не можем пока сказать то же о ромбах CDRB или DESC. Вот почему я не провел линии CD.

Я, надо признаться, этого не заметил.

– В таком случае это невероятно тонкий момент, Сомс. Мало того, наше утверждение может оказаться попросту неверным!

Он почему-то вздохнул.

– Теперь мы переходим к центральному пункту моих рассуждений. Диагонали ромба рассекают его углы пополам, а противоположные углы равны, – Сомс отметил четыре угла греческой буквой θ (тета), см. рисунок слева.

По сходным причинам угол CAB также равен θ. Поскольку ромбы DEAT и PEAB конгруэнтны, я могу отметить буквой θ еще четыре угла. Получается рисунок справа.

– А теперь, Ватсап, скажите: что при взгляде на этот рисунок сразу же приходит в голову?

– На нем чертовски много букв θ, – без промедления отозвался я.

Он недовольно поморщился, и я услышал, как в горле у него что-то негромко зарокотало, не знаю уж почему.

– Это же очевидно, как шея высоченного жирафа, Ватсап! Посмотрите на треугольник EAB.

Я нашел треугольник и внимательно рассмотрел его, поначалу ничего не понимая. Ну… В этом треугольнике тоже много отметок θ. Так, так… все его углы составлены из θ! Теперь я понял.

– Сумма углов треугольника равна 180°, Сомс. В этом треугольнике углы равны θ, θ и 3θ. Их сумма 5θ равна 180°, а значит, θ = 36°.

– Когда-нибудь из вас еще получится геометр, – сказал Сомс. – Остальное доказывается легко. Отрезки DE, EA, AB и BC равны по длине, поскольку являются сторонами конгруэнтных ромбов. Углы ÐDEA, ÐEAB и ÐABC равны между собой, поскольку располагаются в конгруэнтных ромбах, и один из них, ÐEAB, равен 3 × θ, то есть 108°. Так что все три угла равны 108°. Но этому же равен внутренний угол правильного пятиугольника.

– Так что точки D, E, A, B, C являются углами правильного пятиугольника, и я могу завершить рисунок, проведя отрезок CD! – воскликнул я. – Как неле… – я поймал краем глаза его взгляд. – Э-э, как элегантно, Сомс!

Он пожал плечами.

– Пустяк, Ватсап. Этого достаточно, чтобы покончить с Матемагической ассоциацией Нумерики и причинить Могиарти некоторые неудобства. Сам же он… Боюсь, он окажется куда более крепким орешком.