Математические головоломки

Начертим схему движения поездов нашей задачи. Пусть прямые АВ и CD — скрещивающиеся пути (рис. 13). Станция В расположена в 40 км от точки скрещения О, станция D — в 50 км от нее. Предположим, что спустя х минут паровозы будут в кратчайшем взаимном расстоянии друг от друга MN = m. Поезд, вышедший из В, успел к этому моменту пройти путь BM = 0,8x, так как за минуту он проходит 800 м = 0,8 км. Следовательно, ОМ = 40 – 0,8х. Точно так же найдем, что ON = 50 – 0,6x. По теореме Пифагора

Возвысив в квадрат обе части уравнения

и сделав упрощения, получаем:

х² – 124x + 4100 – m² = 0.

Решив это уравнение относительно х, имеем:

Так как х — число протекших минут – не может быть мнимым, то m² – 256 должно быть величиной положительной или в крайнем случае равняться нулю. Последнее соответствует наименьшему возможному значению m, и тогда

т² = 256, т. е. m = 16.

Очевидно, что т меньше 16 быть не может, иначе х становится мнимым. А если m² – 256 = 0, то x = 62.

Итак, паровозы окажутся всего ближе друг к другу через 62 мин., и взаимное их удаление тогда будет 16 км.

Определим, как они в этот момент расположены. Вычислим длину ОМ; она равна

40 – 62 · 0,8 = –9,6.

Знак минус означает, что паровоз пройдет за скрещение на 9,6 км. Расстояние же ON равно

50 – 62 · 0,6 = 12,8,

т. е. второй паровоз не дойдет до скрещения на 12,8 км. Расположение паровозов показано на рис. 14. Как видим, оно вовсе не то, какое мы представляли себе до решения задачи. Уравнение оказалось достаточно терпимым и, несмотря на неправильную схему, дало правильное решение. Нетрудно понять, откуда эта терпимость: она обусловлена алгебраическими правилами знаков.

Где устроить полустанок?

ЗАДАЧА

В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, в 20 км от него, лежит селение В (рис. 15). Где надо устроить полустанок С, чтобы проезд от A до В по железной дороге AC и по шоссе СВ отнимал возможно меньше времени? Скорость движения по железной дороге 0,8, а по шоссе 0,2 километра в минуту.

Рис. 15

РЕШЕНИЕ

Обозначим расстояние AD (от А до основания перпендикуляра BD к AD) через a, CD через х. Тогда AC = AD – CD = a – x, a = . Время, в течение которого поезд проходит путь АС, равно

Время прохождения пути СВ по шоссе равно

Общая продолжительность переезда из А в В равна

Эта сумма, которую обозначим через m, должна быть наименьшей.

Уравнение

представляем в виде

Умножив на 0,8, имеем:

Обозначив 0,8m – а через k и освободив уравнение от радикала, получаем квадратное уравнение

15x² – 2kx + 6400 – k² = 0,

откуда

Так как k = 0,8m – a, то при наименьшем значении т достигает наименьшей величины и k, и обратно^[8]. Но чтобы х было действительным, должно быть не меньше 96 000. Значит, наименьшая величина для есть 96 000. Поэтому m становится наименьшим, когда

16k² = 96 000,

откуда

и, следовательно,

Полустанок должен быть устроен приблизительно в 5 км от точки D, какова бы ни была длина a = AD.

Но, разумеется, наше решение имеет смысл только для случаев, когда х < а, так как, составляя уравнение, мы считали выражение а – х числом положительным.

Если х = а ≈ 5,16, то полустанка вообще строить не надо; придется вести шоссе прямо на станцию. Так же нужно поступать и в случаях, когда расстояние a короче 5,16 км.

На этот раз мы оказываемся предусмотрительнее, нежели уравнение. Если бы мы слепо доверились уравнению, нам пришлось бы в рассматриваемом случае построить полустанок за станцией, что было бы явной нелепостью: в этом случае х > а и потому время

в течение которого нужно ехать по железной дороге, отрицательно. Случай поучительный, показывающий, что при пользовании математическим орудием надо с должной осмотрительностью относиться к получаемым результатам, помня, что они могут потерять реальный смысл, если не выполнены предпосылки, на которых основывалось применение нашего математического орудия.

Как провести шоссе?

ЗАДАЧА

Из приречного города А надо направлять грузы в пункт В, расположенный на а километров ниже по реке и в d километрах от берега (рис. 16). Как провести шоссе от В к реке, чтобы провоз грузов из А в В обходился возможно дешевле, если провозная плата с тонно-километра по реке вдвое меньше, чем по шоссе?

Рис. 16

РЕШЕНИЕ

Обозначим расстояние AD через х и длину DB шоссе – через у: по предположению, длина АС равна а и длина ВС равна d.

Так как провоз по шоссе вдвое дороже, чем по реке, то сумма

х + 2у

должна быть, согласно требованию задачи, наименьшая. Обозначим это наименьшее значение через m.

Имеем уравнение

х + 2у = m.

Но x = a – DC, а  наше уравнение получает вид

или по освобождении от радикала:

3y² – 4 · (m – a)y + (m – a)² + d² = 0.

Решаем его:

Чтобы у было действительным, (m – a) должно быть не меньше 3d². Наименьшее значение (m – а)² равно 3d², и тогда

Но угол, синус которого равен  равен 60°.

Значит, шоссе надо провести под углом в 60° к реке, каково бы ни было расстояние АС.