Математические головоломки

Из жестяного круга нужно изготовить коническую часть воронки. Для этого в круге вырезают сектор и остальную часть круга свертывают конусом (рис. 21). Сколько градусов должно быть в дуге вырезаемого сектора, чтобы конус получился наибольшей вместимости?

Рис. 21

РЕШЕНИЕ

Длину дуги той части круга, которая свертывается в конус, обозначим через х (в линейных мерах). Следовательно, образующей конуса будет радиус R жестяного круга, а окружность основания будет равна x. Радиус r основания конуса определяем из равенства

2pr = x, откуда

Высота конуса (по теореме Пифагора)

(см. рис. 21). Объем этого конуса имеет значение

Это выражение достигает наибольшей величины одновременно с выражением

и его квадратом

Так как

есть величина постоянная, то (на основании доказанного в статье «Когда произведение наибольшее?») последнее произведение имеет максимум при том значении х, когда

откуда

В градусах дуга x ≈ 295°, и, значит, дуга вырезаемого сектора должна содержать ≈ 65°.

Самое яркое освещение

ЗАДАЧА

На какой высоте над столом должно находиться пламя свечи, чтобы всего ярче освещать лежащую на столе монету?

РЕШЕНИЕ

Может показаться, что для достижения наилучшего освещения надо поместить пламя возможно ниже. Это неверно: при низком положении пламени лучи падают очень отлого. Поднять свечу так, чтобы лучи падали круто, – значит удалить источник света.

Рис. 22

Наиболее выгодна в смысле освещения, очевидно, некоторая средняя высота пламени над столом. Обозначим ее через х (рис. 22). Расстояние ВС монеты В от основания С перпендикуляра, проходящего через пламя А, обозначим через а. Если яркость пламени i, то освещенность монеты, согласно законам оптики, выразится так:

где α – угол падения пучка лучей АВ. Так как

то освещенность равна

Это выражение достигает максимума при том же значении х, что и его квадрат, т. е.

Множитель i² как величину постоянную опускаем, а остальную часть исследуемого выражения преобразуем так:

Преобразованное выражение достигает максимума одновременно с выражением

так как введенный постоянный множитель а⁴ не влияет на то значение х, при котором произведение достигает максимума. Замечая, что сумма первых степеней этих множителей

есть величина постоянная, заключаем, что рассматриваемое произведение становится наибольшим, когда

(см. статью «Когда произведение наибольшее?»).

Имеем уравнение

а² = 2х² + 2а² – 2а².

Решив это уравнение, находим:

Монета освещается всего ярче, когда источник света находится на высоте 0,71 расстояния от проекции источника до монеты. Знание этого соотношения помогает при устройстве наилучшего освещения рабочего места.

Глава восьмая. ПРОГРЕССИИ

Древнейшая прогрессия

ЗАДАЧА

Древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце XIX столетия, составлен около 2000 лет до новой эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до новой эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая (приводим ее в вольной передаче).

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

РЕШЕНИЕ

Очевидно, количество хлеба, полученное участниками раздела, составляет возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член – х, разность – у. Тогда

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

После упрощений первое уравнение получает вид

х + 2у = 20,

а второе

11х = 2у.

Решив эту систему, получаем:

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:

Алгебра на клетчатой бумаге

Несмотря на пятидесятивековую древность этой задачи на прогрессии, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике Магницкого, изданном триста лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нем не дано. Сам составитель учебника не без затруднений справлялся поэтому с такими задачами.

Рис. 23

Между тем формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например, фигура ABDC на рис. 23 изображает прогрессию:

2; 5; 8; 11; 14.

Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника ABGE. Получим две равные фигуры ABDC и DGEC. Площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т. е.