Математические головоломки

(АС + СЕ) · АВ.

Но АС + СЕ изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии; АВ — число членов прогрессии. Поэтому двойная сумма

Поливка огорода

ЗАДАЧА

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода (рис. 24), и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки.

Рис. 24

Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

РЕШЕНИЕ

Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь

14 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 14 = 65 м.

При поливке второй он проходит

14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = = 65 + 5 = 70 м.

Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию:

65; 70; 75; …; 65 + 5 · 29.

Сумма ее членов равна

Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

Кормление кур

ЗАДАЧА

Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур каждую неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок.

Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?

РЕШЕНИЕ

Пусть запасено было х декалитров корма на у недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру на курицу в неделю, то

x = 31y

В первую неделю израсходовано было 31 дал, во вторую 30, в третью 29 и т. д. до последней недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было:

(31 – 2y + 1) дал^[9].

Весь запас составлял, следовательно,

x = 31y = 31–30 + 29 + … + (31 – 2у + 1).

Сумма 2у членов прогрессии, первый член которой 31, а последний 31 – 2y + 1, равна

Так как у не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получаем:

31 = 63 – 2y и y = 16,

откуда

х = 31у = 496.

Запасено было 496 декалитров корма на 16 недель.

Бригада землекопов

ЗАДАЧА

Старшеклассники обязались вырыть на школьном участке канаву и организовали для этого бригаду землекопов. Если бы бригада работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе приступил сначала только один член бригады. Спустя некоторое время присоединился второй; еще через столько же времени – третий, за ним через такой же промежуток четвертый и так до последнего. При расчете оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

Рис. 25

РЕШЕНИЕ

Пусть последний член бригады работал х часов, тогда первый работал 11x часов. Далее, если число рывших канаву учеников было у, то общее число часов работы определится как сумма у членов убывающей прогрессии, первый член которой 11x, а последний x, т. е.

С другой стороны, известно, что бригада из у человек, работая в полном составе, выкопала бы канаву в 24 часа, т. е. что для выполнения работы необходимо 24y рабочих часов. Следовательно,

6xy = 24у.

Число у не может равняться нулю; на этот множитель можно поэтому уравнение сократить, после чего получаем:

6x = 24 и х = 4.

Итак, член бригады, приступивший к работе последним, работал 4 часа.

Мы ответили на вопрос задачи; но если бы мы полюбопытствовали узнать, сколько рабочих входило в бригаду, то не могли бы этого определить, несмотря на то, что в уравнении число это фигурировало (под буквой y). Для решения этого вопроса в задаче не приведено достаточных данных.

Яблоки

ЗАДАЧА

Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и еще пол- яблока; третьему – половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

РЕШЕНИЕ

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил

второй

третий

седьмой покупатель

Имеем уравнение

или

Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем:

и

х = 2⁷ – 1 = 127.

Всех яблок было 127.

Покупка лошади

ЗАДАЧА

В старинной «Арифметике» Магницкого мы находим следующую забавную задачу, которую привожу здесь, не сохраняя языка подлинника:

Рис. 26

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

– Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

– Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего  коп., за второй –  коп., за третий – 1 коп. и т. д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

На сколько покупатель проторговался?

РЕШЕНИЕ

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

копеек. Сумма эта равна