Математические головоломки

х² = у² или х = у.

Итак, сечение бруса должно быть квадратным.

Два земельных участка

ЗАДАЧИ

1. Какой формы должен быть прямоугольный участок данной площади, чтобы длина ограничивающей его изгороди была наименьшей?

2. Какой формы должен быть прямоугольный участок, чтобы при данной длине изгороди площадь его была наибольшей?

РЕШЕНИЕ

1. Форма прямоугольного участка определяется соотношением его сторон х и у. Площадь участка со сторонами х и у равна ху, а длина изгороди 2х + 2у. Длина изгороди будет наименьшей, если х + у достигнет наименьшей величины.

При постоянном произведении ху сумма х + у наименьшая в случае равенства х = у. Следовательно, искомый прямоугольник – квадрат.

2. Если х и у — стороны прямоугольника, то длина изгороди 2х + 2у, а площадь ху. Это произведение будет наибольшим тогда же, когда и произведение 4ху, т. е. 2х · 2у; последнее же произведение при постоянной сумме его множителей 2х + 2у становится наибольшим при 2х = 2у, т. е. когда участок имеет форму квадрата.

К известным нам из геометрии свойствам квадрата мы можем, следовательно, прибавить еще следующее: из всех прямоугольников он обладает наименьшим периметром при данной площади и наибольшей площадью при данном периметре.

Бумажный змей

ЗАДАЧА

Змéю, имеющему вид кругового сектора, желают придать такую форму, чтобы он вмещал в данном периметре наибольшую площадь. Какова должна быть форма сектора?

РЕШЕНИЕ

Уточняя требование задачи, мы должны разыскать, при каком соотношении длины дуги сектора и его радиуса площадь его достигает наибольшей величины при данном периметре.

Если радиус сектора х, а дуга у, то его периметр l и площадь S выразятся так (рис. 18):

Величина S достигает максимума при том же значении х, что и произведение 2х(l – 2х), т. е. учетверенная площадь.

Рис. 18

Так как сумма множителей 2х(l – 2х) = l есть величина постоянная, то произведение их наибольшее, когда 2х = l – 2х, откуда

Итак, сектор при данном периметре замыкает наибольшую площадь в том случае, когда его радиус составляет половину дуги (т. е. длина его дуги равна сумме радиусов или длина кривой части его периметра равна длине ломаной). Угол сектора равен» 115° – двум радианам. Каковы летные качества такого широкого змея, – вопрос другой, рассмотрение которого в нашу задачу не входит.

Постройка дома

ЗАДАЧА

На месте разрушенного дома, от которого уцелела одна стена, желают построить новый. Длина уцелевшей стены – 12 м. Площадь нового дома должна равняться 112 кв. м. Хозяйственные условия работы таковы:

1) ремонт погонного метра стены обходится в 25 % стоимости кладки новой;

2) разбор погонного метра старой стены и кладка из полученного материала новой стены стоит 50 % того, во что обходится постройка погонного метра стены из нового материала.

Рис. 19

Как при таких условиях наивыгоднейшим образом использовать уцелевшую стену?

РЕШЕНИЕ

Пусть от прежней стены сохраняется х метров, а остальные 12 – х метров разбираются, чтобы из полученного материала возвести заново часть стены нового дома (рис. 19). Если стоимость кладки погонного метра стены из нового материала равна а, то ремонт х метров старой стены будет стоить ; возведение участка длиной 12 – х будет стоить ; прочей части этой стены – а[у – (12 – х)], т. е. а(у + х – 12); третьей стены – ах, четвертой – ау. Вся работа обойдется в

Последнее выражение достигает наименьшей величины тогда же, когда и сумма

7x + 8y.

Мы знаем, что площадь дома ху равна 112; следовательно,

7x · 8y = 56 · 112.

При постоянном произведении сумма 7x + 8y достигает наименьшей величины тогда, когда

7x = 8y,

откуда

Подставив это выражение для у в уравнение

xy = 112,

имеем:

А так как длина старой стены 12 м, то подлежит разборке только 0,7 м этой стены.

Дачный участок

ЗАДАЧА

При постройке дачи нужно было отгородить дачный участок. Материала имелось на l погонных метров изгороди. Кроме того, можно было воспользоваться ранее построенным забором (в качестве одной из сторон участка). Как при этих условиях отгородить прямоугольный участок наибольшей площади?

Рис. 20

РЕШЕНИЕ

Пусть длина участка (по забору) равна х, а ширина (т. е. размер участка в направлении, перпендикулярном к забору) равна у (рис. 20). Тогда для огораживания этого участка нужно х + 2у метров изгороди, так что

х + 2у = l.

Площадь участка равна

S = xy = y (l – 2y).

Она принимает наибольшее значение одновременно с величиной

2y (l – 2y)

(удвоенной площадью), которая представляет собой произведение двух множителей с постоянной суммой l. Поэтому для достижения наибольшей площади должно быть

2y = l – 2y,

откуда

Иначе говоря, х = 2у, т. е. длина участка должна быть вдвое больше его ширины.

Воронка наибольшей вместимости

ЗАДАЧА