Математические головоломки

В сберкассах процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует бóльшая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в сберкассу положено 100 руб. из 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 руб. превратятся в 200 руб. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 рублей, если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 руб. вырастут в

100 руб. · 1,5 = 150 руб.

А еще через полгода – в

150 руб. · 1,5 = 225 руб.

Если присоединение делать каждые  года, то по истечении года 100 руб. превратятся в

Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т. д. Тогда из 100 руб. спустя год получится:

100 руб. · 1,1¹⁰ ≈ 259 руб. 37 коп.

100 руб. · 1,01¹⁰⁰ ≈ 270 руб. 48 коп.

100 руб. · 1,001¹⁰⁰⁰ ≈ 271 руб. 69 коп.

Методами высшей математики доказывается, что при безграничном сокращении сроков присоединения наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно^[18]

271 руб. 83 коп.

Больше чем в 2,7183 раза капитал, положенный из 100 %, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду.

Число „е“

Полученное число 2,718…, играющее в высшей математике огромную роль, – не меньшую, пожалуй, чем знаменитое число p, – имеет особое обозначение: е. Это – число иррациональное: оно не может быть точно выражено конечным числом цифр^[19], но вычисляется только приближенно, с любой степенью точности, с помощью следующего ряда:

Из приведенного выше примера с ростом капитала по сложным процентам легко видеть, что число е есть предел выражения

при беспредельном возрастании n.

По многим причинам, которых мы здесь изложить не можем, число е очень целесообразно принять за основание системы логарифмов. Такие таблицы («натуральных логарифмов») существуют и находят себе широкое применение в науке и технике. Те логарифмы-исполины из 48, из 61, из 102 и из 260 цифр, о которых мы говорили ранее, имеют основанием именно число е.

Число е появляется нередко там, где его вовсе не ожидали. Поставим себе, например, такую задачу.

На какие части надо разбить данное число а, чтобы произведение всех частей было наибольшее?

Мы уже знаем, что наибольшее произведение при постоянной сумме дают числа тогда, когда они равны между собой. Ясно, что число а надо разбить на равные части. Но на сколько именно равных частей? На две, на три, на десять? Приемами высшей математики можно установить, что наибольшее произведение получается, когда части возможно ближе к числу е.

Например, 10 надо разбить на такое число равных частей, чтобы части были возможно ближе к 2,718… Для этого надо найти частное

Так как разделить на 3,678… равных частей нельзя, то приходится выбрать делителем ближайшее целое число 4. Мы получим, следовательно, наибольшее произведение частей 10, если эти части равны  т. е. 2,5.

Значит,

(2,5)⁴= 39,0625

есть самое большое число, какое может получиться от перемножения одинаковых частей числа 10. Действительно, разделив 10 на 3 или на 5 равных частей, мы получим меньшие произведения:

Число 20 надо для получения наибольшего произведения его частей разбить на 7 одинаковых частей, потому что

20: 2,718… = 7,36» 7.

Число 50 надо разбить на 18 частей, а 100 – на 37, потому что

50: 2,718… = 18,4,

100: 2,718… = 36,8.

Число е играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно):

Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой),

формула Эйлера^[20],

закон охлаждения тел,

радиоактивный распад и возраст Земли,

колебания маятника в воздухе,

формула Циолковского для скорости ракеты,

колебательные явления в радиоконтуре,

рост клеток.

Логарифмическая комедия

ЗАДАЧА

В добавление к тем математическим комедиям, с которыми читатель познакомился в главе пятой, приведем еще образчик того же рода, а именно «доказательство» неравенства 2 > 3. На этот раз в доказательстве участвует логарифмирование. «Комедия» начинается с неравенства

бесспорно, правильного. Затем следует преобразование:

также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит,

После сокращения на  имеем: 2 > 3. В чем ошибка этого доказательства?

РЕШЕНИЕ

Ошибка в том, что при сокращении на  не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как  есть число отрицательное. [Если бы мы логарифмировали при основании не 10, а другом, меньшем чем , то  был бы положителен, но мы не вправе были бы тогда утверждать, что большему числу соответствует больший логарифм.]

Любое число – тремя двойками

ЗАДАЧА