Математические модели в естественнонаучном образовании

Далее хотелось бы найти , но для этого нужно отметить  на горизонтальной оси. Самый простой способ сделать это – двигаться горизонтально от точки  до диагональной линии. Когда достигнем диагональной линии, окажемся в , так как сохранили ту же вторую координату, но изменили первую координату. Теперь, чтобы найти , просто двигаемся вертикально назад к параболе, чтобы найти точку . Теперь это просто вопрос повторения этих шагов навсегда: двигаться вертикально к параболе, затем горизонтально к диагональной линии, затем вертикально к параболе, затем горизонтально к диагональной линии и так далее.

Рисунок 1.3. Паутинная диаграмма нелинейной модели.

Судя по графику ясно, что если начальная популяция  лежит в диапазоне от 0 до , то модель с  и  приведёт к постоянно растущему значению популяции, которое приближается к предельному значению пропускной способности равному 10.

Если оставить те же значения  и , но положить , то паутина будет выглядеть так, как показано на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4. Паутинная диаграмма нелинейной модели.

Действительно, становится ясным, что если  имеет значение больше, чем , то наблюдается немедленное падение численности популяции. Если такое падение окажется ниже критического, то произойдёт постепенное увеличение, приближающееся обратно к предельному значению пропускной способности модели.

Вопросы для самопроверки:

– Для модели  найдите отличное от нуля значение , соответствующее абсциссе точки пересечения параболы с горизонтальной осью, то есть имеющей ординату .

– Что произойдет, если  выбрать больше, чем значение, найденное в предыдущем вопросе?

Если популяция становится отрицательной, то мы должны интерпретировать это как вымирание.

На этом этапе можно узнать гораздо больше, изучая логистическую модель с помощью калькулятора или компьютера, чем просто прочитав текст. Упражнения ниже помогут в этом. На самом деле обнаружится, что логистическая модель имеет некоторые сюрпризы, которые вы, возможно, не ожидаете.

Задачи для самостоятельного решения:

1.2.1. Пусть  и . С помощью калькулятора составьте таблицу популяционных значений  для . Изобразите полученные результаты на графике.

1.2.2. В модели , какие значения  приведут к тому, что  окажется положительным? Отрицательным? Какой смысл это имеет?

1.2.3. Повторите решение задачи 1 в MATLAB с помощью команд аналогичных следующим:

p=1; x=p

for i=1:22; p=p+.3*p*(1-p/15); x=[x p]; end

plot([0:22], x)

Объясните, как это работает.

1.2.4. Используя следующую программу onepop.m для MATLAB при различных значениях , исследуйте долгосрочное поведение модели , где . Возможно, придется изменить количество шагов, с которыми вы запускаете модель, чтобы изучить некоторые из вариантов.

% onepop.m

%

% Модель популяции одного вида

%

% У пользователя запрашивается уравнение, определяющее модель. Затем, кликнув

% по начальной численности популяции на графике, динамика популяции как функция

% от времени будет изображена в виде графика. После выполнения симуляции

% при нажатии клавиши 'd' числовые данные отобразятся в командное окно MATLAB.

%

p=0;                          % инициализация переменной популяции для формулы

%

disp(' ')

disp(' Введите формулу, определяющую модель популяции, обозначая за "p"')

disp('численность популяции: (Например: следующее_p = p+.8*p*(1-p/10) )')

next_p=input ('следующее_p = ','s');

%

p=eval(next_p);               % тестируемая формула

%

disp(' ')

disp(' Введите диапазон популяции, который будет отображаться на графике:');

limits=input('(Значение по умолчанию [pmin pmax] = [0 20]) ');

if isempty(limits) limits=[0 20]; end;

%

disp(' ')

n=input(' Введите количество шагов для итерации: (по умолчанию n = 20) ');

if isempty(n) n=20; end;

%

disp(' ')

disp(' Наведите курсор на график, чтобы выбрать начальную популяцию и')

disp('кликните для рисования. Нажмите `d'', чтобы отобразить значения популяции')

disp('в командном окне. Нажмите любую другую клавишу, чтобы выйти.')

disp('  ')

disp(' Нажмите любую клавишу, чтобы начать.')

pause

%

figure;                         % настроить отображение нового графика

axis([ [0 n] limits]); grid on;

xlabel('Время');ylabel('Популяция P');

title(['следующее\_p=',next_p]);

hold on;                        % сохранение линий на графике при добавлении новых

%

times=[0:n];                    % генерировать вектор времени для построения графика

%

newcontinue=1;

while newcontinue               % цикл, пока не будет нажата не левая кнопка

   [t,p,button]=ginput(1);      % получить начальную численность популяции

   if button==1

      pops=p;

      for i=1:n                 % построить вектор итерационных значений популяции

         p=eval(next_p);

         pops=[pops,p];

      end

      plot(times,pops);         % график зависимости численности популяции от времени

   else

      newcontinue=0;            % флаг выхода из цикла

      if button==100

         [times;pops]'          % отобразить время и численность в командном окне

         newcontinue=1;           % повторить цикл снова после отображения значений

                                % если пользователь нажимает `d' для отображения

      end

   end

end

%

hold off                        % возвращает режим автоматической очистки графика