Математические модели в естественнонаучном образовании

1.2.5. Наиболее распространенными способами записи уравнения дискретного логистического роста являются: , , , .

Представьте каждую из следующих моделей в четырех основных формах записи.

а.

б.

1.2.6. Дано уравнение модели

а. Постройте график функции  от  с использованием MATLAB путем ввода команды:

x=[0:.1:12]

y=.8*x.*(1-x/10)

plot(x,y)

б. Постройте график функции  от  путем изменения команд MATLAB из части (а).

в. Вычислите значения  для  при . Затем на графике из части (б) постройте паутину, начинающуюся с . Можно добавить линию  на графике, введя команды

hold on, plot(x,y,x,x)

Полученная паутинная диаграмма достаточно точно соответствует таблице значений?

1.2.7. Если бы данные в таблице 1.6 о численности популяции были собраны в ходе лабораторного эксперимента, описывались бы они хотя бы приблизительно логистической моделью? Объясните почему. Если данные описываются логистической моделью, то можете ли оценить  и  в модели ?

Таблица 1.6. Значения численности популяции

0 1             2             3             4             5             6             7             8             9             10

           1,94       3,04       4,62       6,72       9,26       11,88     14,08     15,52     16,26     16,60     16,72

1.2.8. Предположим, что популяция моделируется уравнением  когда  измеряется поштучно.

а. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но с популяцией, измеряемой в тысячах штук. Подсказка: пусть , тогда  и можно найти формулу для описания зависимости  от .

б. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но для популяции, измеряемой в единицах, выбранных таким образом, чтобы пропускная способность составляла 1 в этих единицах. Для начала определите пропускную способность исходной модели.

1.2.9. Метод построения паутинной диаграммы для изучения итерированных моделей не ограничивается только моделированием логистического роста, описанного выше. Определите графически популяции в каждой из моделей на рисунке 1.5 выполнив шесть итераций приращения, используя отмеченные начальные значения численности популяции .

а.

б.

в.

г.

Рисунок 1.5. Паутинные диаграммы для задачи 1.2.9.

1.2.10. Приведите формулу для графика, изображенного в части (а) рисунка 1.5. Как называется такая модель?

1.2.11. Некоторые из одних и тех же идей и моделей, используемых в исследованиях популяций, появляются в совершенно неожиданных научных областях.

a. Часто химические реакции протекают со скоростью, пропорциональной количеству участвующего в реакции вещества. Предположим, что используется очень малый временной интервал, чтобы смоделировать такое действие разностным уравнением. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно , и то первое химическое вещество, которое изначально имеется в количестве , преобразуется во второе химическое вещество, которое получается в количестве  в момент времени . Опираясь на свои школьные знания, объясните, почему . Какие значения  являются допустимыми? Какой смысл имеет ? Как выглядит график функции  от ?

b. Химические реакции называются автокаталитическими, если скорость, с которой они происходят, пропорциональна как количеству сырья, так и количеству продукта, тот есть продукт реакции отказывается её катализатором. Модно снова использовать очень малый интервал времени для моделирования такого действия, но уже с помощью другого уравнения. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно  и то одно химическое вещество преобразуется в другое химическое вещество, которое получается в количестве .  Объясните, почему в данном случае .  Если  мало, но не равно нулю, то как будет выглядеть график функции  от ? Если , то как будет выглядеть график функции  от ? Можете ли интуитивно объяснить форму полученного графика? Обратите внимание на тот факт, что  будет очень маленьким, потому что используется небольшой интервал времени. Модель логистического роста в таких случаях иногда также называют автокаталитической моделью.

Заметим, что пришедшая из химии автокаталитическая модель применима, среди прочего, для моделирования динамики трудовой миграции в сфере математического образования.

1.3. Анализ нелинейных моделей

В отличие от простой линейной модели, описывающей экспоненциальный рост, нелинейные модели, такие как дискретная логистическая, могут описывать достаточно сложную динамику поведения. Без сомнения, это стало заметным в ходе выполнения некоторые упражнений из предыдущего раздела.

В этом разделе рассмотрим несколько конкретных типов поведения и разработаем простые инструменты для их изучения.