Математические модели в естественнонаучном образовании

Далее рассмотрим такие явления в динамическом моделировании как колебания, бифуркации и хаос. В задаче 1.2.4 предыдущего раздела исследовалось динамическое поведение логистической модели  для K = 10 при множестве значений r. На самом деле, параметр  в модели не очень важен; можно выбрать единицы, в которых измеряется численность популяции так, чтобы пропускная способность стала равна 1. Например, если пропускная способность составляет 10 000 штук, то можно использовать масштабную единицу равную 10 000, и тогда получится . Это наблюдение позволяет подробно сосредоточиться на том, как параметр  влияет на поведение модели.

Зафиксировав , для любого значения  логистическая модель имеет два равновесных значения, 0 и 1, так как это единственные значения , которые приводят к . Как увидите в ходе решения задач чуть позже, «коэффициент растяжения» при  будет равен , а при  равен .  Поэтому  всегда является неустойчивым равновесием для .

Случай  гораздо интереснее. Во-первых, когда , что равносильно , модель имеет стабильное равновесие в точке . Формула  показывает, что знак  при этом никогда не изменится; хотя отклонение уменьшается, первоначально положительное отклонение остается положительным, а изначально отрицательное – отрицательным. Популяция просто движется к равновесию, никогда не превышая его.

Далее, когда  увеличивается настолько, что , то  и равновесие будет все еще стабильным. Однако, теперь видим, что так как , то знак  будет чередоваться между положительным и отрицательным значением по мере увеличения . Таким образом, можно видеть колебательное поведение выше и ниже точки равновесия, поскольку отклонение от равновесного значения имеет чередование знака. Таким образом, популяция приближается к равновесию как затухающее колебание.

Подумаем о том, почему такое колебание может произойти с точки зрения моделируемой популяции. Если , мера скорости воспроизводства новых ленов популяции, достаточно велика, то популяция ниже пропускной способности окружающей среды может за один временной шаг своего развития временно вырасти настолько, что превысит пропускную способность. Как только численность превышает пропускную способность, популяция вымирает достаточно быстро, чтобы к следующему шагу она снова оказалась ниже пропускной способности окружающей среды. Но затем её численность снова вырастет настолько, чтобы превзойти критическое значение. Как будто популяция перенастраивается и адаптируется заново на каждом временном интервале.

Если параметр  логистической модели окажется больше только что рассмотренных значений, то популяция не приблизится к равновесию. Когда , получится  и поэтому ранее устойчивое равновесие  становится неустойчивым. Таким образом, происходит резкое качественное изменение поведения численности популяции по мере дальнейшего увеличения параметра . Отсюда возникает интересный вопрос, каковы возможности модели с двумя неустойчивыми равновесиями и без устойчивых. Какое поведение тогда можно ожидать в долгосрочной перспективе?

Компьютерный эксперимент показывает, что для значений  чуть больше 2 популяция попадает в 2-цикл, её численность бесконечно прыгает взад и вперед между значением выше 1 и значением ниже 1. По мере дальнейшего увеличения  значения в 2-цикле меняются, но наличие 2-цикла сохраняется до тех пор, пока не достигнем другого значения , при котором происходит еще одно внезапное качественное изменение. На этот раз видим, что 2-цикл становится 4-циклом. Дальнейшее увеличение  производит 8-циклы, затем 16-циклы и так далее.

Эта модель приводит к неожиданному, но интересному выводу: одна и та же популяция может демонстрировать разные циклы в своей численности, даже когда окружающая среда совершенно неизменна. Считая, что теоретические предположения в построении математической модели были верны и популяция имеет достаточно большое значение , на практике она может никогда не достигать ни одного из теоретически существующих равновесных значений.

Хороший способ понять влияние изменения параметра  на рассматриваемую модель заключается в изображении диаграммы бифуркации на рисунке 1.6. В Maple это изображение легко получить следующей серией команд:

with(IterativeMaps):with(ImageTools):

Logistic := Bifurcation([x], [x + r*x*(1 – x)], [0.99], 1.5, 3):

ArrayTools:-Dimensions(Logistic)

ColouringProcedures:-HueToRGB(Logistic):Embed(Logistic)

 

Рисунок 1.6. Бифуркационная диаграмма логистической модели . По горизонтальной оси слева направо меняется значение параметра , а по вертикальной снизу вверх отложены циклические аттракторы значений соответствующей популяции.