Математические модели в естественнонаучном образовании

Конкретное разностное уравнение, обсуждаемое в этом разделе, иногда называют экспоненциальной или геометрической моделью, поскольку модель приводит к экспоненциальному росту и ассоциируется с именем Томаса Мальтуса. Математики, однако, склонны сосредотачиваться на форме уравнения  и говорить, что модель линейна. Такая терминология может сбивать с толку, но она важна, когда линейная модель описывает экспоненциальный рост или убывание.

Задачи для самостоятельного решения:

1.1.1. Популяция изначально составляла 100 особей, но из-за комбинированного воздействия рождений и смертей она утраивается каждый час.

а. Составьте таблицу численности популяции для  пробегающего значения от 0 до 5, где  измеряется в часах.

б. Приведите два уравнения, моделирующих рост популяции, сначала путем выражения  через , а затем выразив  через .

в. Что можно сказать об уровнях рождаемости и смертности среди населения вашей страны? Земного шара?

1.1.2. На ранних стадиях развития в развивающихся странах открытие новых школ происходит с достаточно регулярной скоростью. Предположим, что количество школ удваивается примерно каждый месяц.

а. Запишите уравнение, моделирующее эту ситуацию. Уточнив, сколько реального времени представлено шагом 1 в параметре  и каково было начальное количество школ в период новейшей истории.

б. Заполните таблицу и нарисуйте график числа школ в зависимости от .

в. Сопоставьте полученные результаты с официальными данными Росстата. Это соответствует вашей модели? Какие выводы и/или вопросы это вызывает?

1.1.3. С помощью ручного калькулятора составьте таблицу значений численности населения выбирая  в диапазоне от 0 до 6 для следующих моделей. Затем отобразите табличные значения на графике.

а. ,

б. ,

в. ,

1.1.4. Повторите решение задачи 1.1.3(а) с помощью MATLAB, введя последовательность команд, например:

p=1

x=p

p=1.3*p

x=[x p]

p=1.3*p

x=[x p]

…

Возврат к предыдущим командам для их повторения можно осуществлять нажатием клавиши "^". Объясните, как это работает. Теперь повторите решение с использованием цикла, например:

p=1

x=1

for i=1:10

p=1.3*p

x=[x p]

end

Отступ не является обязательным, но помогает сделать цикл for-end понятнее для чтения. Объясните, как это работает. Визуализируйте полученные данные на графике с помощью команды:

plot([0:10],x)

1.1.5. Для модели, указанной в задаче 1.1.3 а), сколько времени должно пройти, прежде чем популяция превысит 10, превысит 100 и превысит 1 000? Используйте MATLAB, чтобы вычислить это экспериментальным путём, а затем вычислите аналитически, используя логарифмирование и тот факт, что . Обнаруживается ли закономерность в изменениях вычисленной продолжительности? Объясните, когда и почему значение стабилизируется.

1.1.6. Если бы данные в таблице 1.2 о численности докторов физико-математических наук были собраны по десятилетиям с момента основания института математики, соответствовали бы они геометрической модели? Будет ли численность соответствовать геометрической модели хотя бы в некотором временном интервале? Объясните наблюдаемое явление.

Таблица 1.2. Численность учёных в стране (сотни)

0 1             2             3             4             5             6             7             8             9             10

           1,94       3,04       4,62       6,72       9,26       11,88     14,08     15,52     16,26     16,60     16,72

1.1.7. Заполните пропуски:

а. Модели  и  представляют растущие значения, когда  – любое число в диапазоне _______, а  – любое число в диапазоне _______.

б. Модели  и  представляют уменьшающиеся значения, когда  – любое число в диапазоне _______, а  – любое число в диапазоне _______.

в. Модели  и  представляют стабильные значения, когда  – любое число в диапазоне _______ и когда  – любое число в диапазоне _______.

1.1.8. Объясните, почему модель  не может иметь смысла для описания численности популяции, когда .

1.1.9. Предположим, что популяция описывается моделью  и . Найдите  для .

1.1.10. Говорят, что модель имеет устойчивое состояние или точку равновесия при  если всякий раз, когда , имеем .

а. Перефразируйте определение следующим образом: модель имеет устойчивое состояние при  если всякий раз, когда , имеем  .

б. Перефразируйте определение неформально: модель имеет устойчивое состояние , если ___.

в. Может ли модель, описываемая равенством  иметь устойчивое состояние? Объясните почему.

1.1.11. Объясните, почему модель  приводит к формуле .

1.1.12. Предположим, что на численность определенного населения влияют только рождение, смерть, иммиграция и эмиграция, каждая из которых происходит ежегодно в размере, прямо пропорциональном численности населения. То есть, если население составляет , то в течение периода времени в 1 год число рождений составляет , число смертей , число иммигрантов равно , а число эмигрантов равно , для некоторых , ,  и . Покажите, что популяция все еще может быть смоделирована равенством  и выведите формулу для вычисления .