Математический аппарат инженера

11. На примере множеств А и В из задачи 9в покажите справедливость соотношения A\B = A ∩ B̅ и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

12. Что можно сказать от отношениях между множествами A, B, C, представленными кругами Эйлера на рис. 4? Запишите с помощью операций над множествами выражения для множеств, соответствующих заштрихованными областями.

13. Для написания цифр почтового индекса используют множество из девяти элементов, которые обозначены буквами на рис. 5, а, а сами цифры изображены на рис. 5, б.

а) Сколько различных фигур можно изобразить с помощью всевозможных комбинаций из элементов исходного множества, считая, что в каждой такой комбинации может участвовать от 0 до 9 элементов? Какой процент этих комбинаций используется для начертания цифр?

- 27 -

б) Запишите множества A_k (k = 0,1, ... , 9) элементов каждой из десяти цифр ( например, A₇ = {a, c, f}). Имеются ли среди них непересекающиеся множества?

в) Запишите для каждого из элементов s ( s = a, b, ... , i) множество B_s, состоящее из цифр, в написании которых используется элемент s (например, B_f = {0, 6, 7, 8}). Какие элементы используются наиболее редко и наиболее часто?

Рис. 4. Круги Эйлера к задаче 12.

г) Считая мерой близости цифр количество общих элементов, укажите цифры, наименее и наиболее близкие цифре 3. Какой операции над множествами A_k соответствует множество, определяющее меру близости цифр?

14. В химическом продукте могут оказаться примеси четырех видов, обозначенных через a, b, c, d. Приняв в качестве исходного множества A = {a, b, c, d}, образуйте множество всех его подмножеств Р(А). Дайте содержательное истолкование этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?

Рис. 5. Начертание цифр почтового индекса:

а- элементы исходного множества; б — цифры.

15. Докажите, что для конечного множества, состоящего из n элементов, множество всех его подмножеств содержит 2ⁿ элементов.

16. Проверьте свойство транзитивности отношения включения на примере множеств X = {b, c}, Y = {a, b, c}, Z = {b}.

17. Дайте словесное описание каждому из следующих множеств:

а) {x|x — точка плоскости, находящаяся на расстоянии r от начала координат};

б) {x|x² — 4x + 3 = 0};

в) {x|x — инженер нашего отдела};

г) {x|x ∈ A и z ∈ B }; A — множество транзисторов; В — множество деталей радиоприемника;

д) {x ∈ R |x = 3k, k ∈ N} N — множество натуральных чисел;

е) {x² + 1 |x - целое число}

18. Покажите, что для любых множеств А и В справедливо соотношение ∅ ⊂ A ∩ B ⊂ A ∪ B

19. Покажите, что для любого множества А справедливы соотношения: A + A = ∅; A + ∅ = A.

20. Покажите, что из соотношения A ∩ B = C следует C ⊂ A и C ⊂ B.

21. Пусть M₁ и M₂ — соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а Р — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.

- 28 -

а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые детали.

б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.

в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.

22. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче соотношений (Р ⊂ M₁, M₁ ∩ M₂ ⊂ P, M₂ ∩ P = ∅) непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить? Для ответа на поставленные вопросы проведите сначала логические рассуждения, а затем воспользуйтесь кругами Эйлера. Сформулируйте выводы, соответствующие полученному результату.

23. Запишите множество упорядоченных пар (x, y), выражающих отношение «x — делитель y» на множестве целых чисел от 2 до 10 включительно. Является ли это отношение функцией? Обладает ли оно свойством транзитивности?

24. Запишите отношение между элементами множества цифр из задачи 13, выражающееся как «x имеет больше двух общих элементов с y».

25. Пусть x ∈ X, y ∈ Y и A — отношение между элементами множеств X и Y, выражаемое соотношением xAy. Укажите, в каких случаях А можно рассматривать как функцию:

а) X — множество студентов, Y - множество учебных дисциплин, xAy - «x изучает y»;

б) X - множество спортсменов, Y - рост в единицах длины, xAy - «x имеет рост y»;

в) X — множество компонентов электрической цепи, Y- множество узлов цепи, xAy - «x связан с y».

3. Матрицы

1. Матрица как таблица. Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы:

Такая таблица, состоящая из m строк и n столбцов, содержит mn клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет размер m × n и ее называют ( m × n )-матрицей. Позиция на пересечении i -й строки и j -го столбца называется ij -клеткой.

Числа или любые другие объекты, расположенные в клетках таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной.

- 29 -