Математический аппарат инженера

5. Умножение матриц. По многим соображениям целесообразно определить эту операцию следующим образом: Произведением матрицы A размера (m × n) на матрицу B размера (n × r) является матрица C = AB размера (m × r), элемент c_ij которой, расположенный в ij-клетке, равен сумме произведений элементов i-й строки матрица A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т.е.

Умножение А на В допустимо (произведение АВ существует) если число столбцов А равно числу строк В ( в таких случаях говорят, что эти две матрицы согласуются по форме). Пример:

- 33 -

Для матриц A (m × n) и B(n × m) существует как произведение АВ размера m × m, так и произведение BA размера n × n. Ясно, что при m × n эти произведения не могут быть равными уже вследствие различных размеров результирующих матриц. Но даже при m = n, т.е. в случае квадратных матриц одинакового порядка, произведения АВ и ВА не обязательно равны между собой. Например, для матриц

имеем:

Отсюда следует, что вообще операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону (AB ≠ BA). Если же выполняется соотношение AB = BA, то матрицы А и В называю коммутирующими или перестановочными. Ассоциативный и дистрибутивный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции: (AB)C = A(BC) = ABC (ассоциативностью), A(B + C) = AB + AC и (A +B)C = AC +BC (дистрибутивность умножения слева и справа относительно сложения).

Умножение (m × n) — матрицы А на единичную матрицу m-го порядка слева и на единичную матрицу n-го порядка справа не изменяет этой матрицы, т.е. E_mA = AE_n = A. Если хотя бы одна из матриц произведения АВ является нулевой, то в результате получим нулевую матрицу.

Отметим, что из АВ = 0 не обязательно следует, что А = 0 или В = 0. В этом можно убедиться на следующем примере:

6. Транспонирование матрицы. Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами ( или столбцов строками) при

- 34 -

сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается A^t или A':

Произвольная (m × n) — матрица при транспонировании становится ( n × m ) - матрицей, а элемент a_ij занимает ji — клетку, т.е. a_ij = a^t_ji.

Если матрица (квадратная) совпадает со своей транспонированной, т.е. A = A^t, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением a_ij = a_ji (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой A = -A^t, называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением a_ij = -a_ji . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т.е. a_ii = 0 (i = 1, 2, ..., n). Ниже приведены примеры симметричной и кососимметричной матриц:

Ясно, что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из n² элементов для симметричной матрицы независимыми могут быть только 1/2 n (n + 1), а для кососимметричной -1/2 n (n + 1) элементов.

- 35 -

Комплексно-сопряженная и транспонированная матрица (A)^t называется сопряженной с А и обозначается A*. Матрица, равная своей сопряженной, т.е. A = (A̅)^t = A*, называется эрмитовой. Если A = -(A̅)^t, то А — косоэрмитова матрица.

Легко показать, что транспонирование произведения АВ равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (AB)^t = B^tA^t. Дважды транспонированная матрица равна исходной, т.е. (A^t)^t = A.

7. Матричная запись системы линейных уравнений. Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений, что и обусловило и определение основных матричных операций. Система линейных уравнений:

записывается одним матричным равенством

Действительно, перемножив в правой части равенства ( m × n ) - матрицу на столбцевую матрицу, получим

- 36 -

Из равенства матриц-столбцов следуют равенства для соответствующих элементов, которые совпадают с исходной системой уравнений. Если обозначить

то матричное равенство запишется еще короче

y = Ax.

Такое представление системы линейных уравнений оказалось возможным благодаря правилу умножения матиц, которое наилучшим образом подходит для этой цели. Однако исторически дело обстояло как раз наоборот: правила действий над матрицами определялись, прежде всего, исходя из удобства представлений систем линейных уравнений.

8. Линейные преобразования. Систему уравнений, записанную в начале предыдущего пункта, можно рассматривать как линейное преобразование совокупности величин x₁, x₂, ..., x_n в совокупность y₁, y₂, ..., y_m. Это преобразование полностью определяется коэффициентами a_ij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). На языке матриц линейное преобразование y = Ax означает преобразование столбца х в столбец у, которое определяется матрицей преобразования А.