Математика для гиков

Вы, возможно, уже знакомы с примером равновесия Нэша: дилеммой заключенного. В этом случае два человека обвиняются в преступлении, и им грозит, предположим, три года тюрьмы. Но прокурор подозревает, что двое заключенных являются сообщниками, и предлагает каждому из них сделку. (Заключенные не могут никаким образом общаться друг с другом, поэтому они не знают, какое решение примет другой человек.) Если заключенный А признает, что заключенный Б – его сообщник, а заключенный Б не признает, то заключенный А получит один год тюрьмы – смягченный приговор, а заключенный Б получит пять лет тюрьмы. Верным будет и обратное: если заключенный Б признает, что заключенный А – его сообщник, а заключенный А не признает, то заключенный Б получит один год тюрьмы, а заключенный А получит пять лет тюрьмы. Если они оба сознаются, тогда оба получат по два года. Если посмотреть на общую картину, то кажется, что им обоим лучше во всем признаться. Но если каждый из них будет искать лучший выход, не зная, что решит другой, они оба решат ничего не говорить и получить по три года тюрьмы – первоначальный приговор, – хотя они и могли получить смягченный приговор, если бы признались во всем. Оказывается, случай, когда оба заключенных не признаются, соответствует равновесию Нэша, а остальное не соответствует.

Теория игр

Теория игр проникает во все уголки нашей жизни, даже в те, которые, кажется, не связаны с играми и принятием решений. Одним примером является недавнее решение авиакомпании Southwest Airlines позволить людям за дополнительную плату сесть в самолет раньше, чтобы у них точно было свободное место на багажных полках над головой для их сумок. Перед каждым пассажиром стоял одинаковый выбор, так что, решая, заплатить ли лишние деньги, каждый пассажир должен был помнить, что остальные тоже могли это сделать. (Оказывается, что дополнительная плата является наилучшим выбором.)

2.15. Математика в стае скворцов

Математическое понятие: безмасштабная корреляция

Возможно, вы видели видео на YouTube, где летит большая стая скворцов, или, может быть, вам посчастливилось наблюдать за ними вживую. В любом случае, вы наверняка были удивлены тем, как каждая птица скоординирована друг с другом, каждый скворец летит синхронно с другими птицами. (Ни один скворец, например, не делает резких поворотов и не сталкивается с соседом.) Вы также, возможно, восхищались тем, как внезапное движение нескольких скворцов с краю передавалось практически в ту же секунду на всю группу, и все скопление парящих тел в перьях, казалось, ведет себя как единый организм.

Такое поведение соответствует принципу безмасштабной корреляции. Когда группа особей организована таким образом, любое движение, сделанное одним, влияет на всех других участников, несмотря на размер группы. В группе скорость и направление одного скворца напрямую влияют только на скорость и направление его ближайших семи соседей, но информация быстро распространяется на всю стаю. Их поведение придерживается статистической модели, которая похожа на то, как намагничивается металл или как ведут себя кристаллы снега перед лавиной. (Недавно команда ученых выяснила, что стаи скворцов соблюдают безмасштабную корреляцию, создав компьютерную модель, которая воссоздала позиции и скорость в трехмерном пространстве настоящих скворцов в стае численностью от 122 до 4268 особей.) И скворцы показывают мастерство координации без лидера, который ведет всех остальных скворцов; вместо этого каждый скворец будто следует простым правилам: «Лети с той же скоростью, что и твой сосед» и «Не столкнись ни с кем». Однако, несмотря на все исследования, никто точно не знает, как скворцы или другие животные, которые обладают таким же групповым поведением, так быстро передают информацию.

Анчоусы

Другие животные обладают похожим поведением. Анчоусы, например, плавают большими группами или косяками, которые поворачиваются и меняют направление не хуже скворцов. А косяки анчоусов могут быть огромными: в 2014 году у берегов Сан-Диего был замечен косяк, в котором насчитывалось около 100 млн рыб.

2.16. Приводим в порядок кучу беспорядка

Математическое понятие: комбинаторика