Математика для гуманитариев. Живые лекции

На самом деле выпуклость была незаметным образом использована, когда мы поделили число 7000000 именно на 3. Только для выпуклого 7-угольника можно опираться на число 3. На рис. 45 паркет содержит такие вершины, где сходятся только две плитки паркета (и на одной из них имеется угол БОЛЕЕ 180 градусов). Подобное явление, однако, возможно только для невыпуклых плиток: любой выпуклый многоугольник содержит в себе только углы менее 180 градусов.

А.С.: Скажу напоследок вот что. Если кого-то не убедят тысячи и миллионы, надо будет сказать следующее. Если круг в n раз больше по размеру, чем плиточка, то количество граней, вершин и ребер имеет порядок n², потому что их количество связано с площадью круга. А то, что в районе большой окружности «живет», имеет порядок n, потому что вопрос связан с длиной окружности. И если вы исследуете некоторое выражение порядка n², например, (7n²)/2 > (7n²)/3 + n², и при этом во все слагаемые примешивается мелочь порядка n: 2n, 3n, 6n и так далее, то матанализ разрешает ее стереть, потому что n² и n «разного порядка роста». И неравенство будет верным при любом n, начиная с некоторого места. (А именно с того места, когда n² станет подавляюще большим по сравнению с n.)

В матанализе есть основной принцип: если вы про какое-то число показали, что оно меньше сколь угодно малого положительного числа, то вы доказали, что оно равно нулю (если оно изначально не было отрицательным). Вот вы получили какое-то число, вы хотите доказать, что оно равно нулю. Покажу типичный прием матанализа. Пусть есть число а. Рассмотрим такое число, как 1/n, и покажем, что наше число меньше, чем 1/n. Допустим, это мы доказали для любого натурального значения n. Для 1000, для 1000000, для 1000000000... Если вы умеете доказать такое неравенство для любого n, значит, вы умеете доказать, что а равно нулю.

Вот в этом, собственно, весь принцип матанализа и заключен. Всё остальное, что есть в матанализе: интегралы, производные — не более чем упражнения с этой логикой (математики говорят в этом случае: «Применим технику работы с порядками бесконечно малых»),

И самый последний пример. Мне рассказал его папа, когда я еще даже в школу не ходил. Папа взял яблоко, отрезал от него половинку и говорит: «Это сколько от яблока?» — «1/2», — сказал я. — «А если теперь я к этой половинке прибавлю половинку оставшейся половинки, то это что здесь надо написать?»

Слушатель: 1/2 + 1/4.

А.С.: А если я проделаю это бесконечное количество раз? Тогда что я получу?

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1.

Слушатель: Ноль.

Другой слушатель: Единицу.

А.С.: Я получу число один, причем в точности число 1.

Почему в точности? Потому что каждый раз число получалось не больше единицы, это очевидно. Значит, мы не можем получить число больше единицы. Но какое бы маленькое число мы не взяли, в конце концов 1/n станет меньше его. На самом деле у нас в знаменателе вместо n стоят степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192…

Они очень быстро растут, поэтому 1/2ⁿ — очень быстро уменьшается. И в итоге очередное расстояние до числа «1» станет меньше любого наперед заданного числа. То есть они уходят в ноль. Получается, что наша сумма неограниченно приближается к единице, и вот тогда математик говорит: «Следовательно, она равна единице». Всё. Вот он, предельный переход. Это то, что учат в матанализе на любом факультете любого вуза. Больше ничего в нём нет[13].

Слушатель: А если здесь просто включить житейскую мудрость и подумать, что мы отрезали от одного целого яблока?

А.С.: Да. В данном случае можно. Но житейская мудрость — она такая штука, что она иногда не работает. Давайте решим такую задачу.

Кузнечик сначала прыгает на один метр, а потом на 1/2 метра, а потом — на 1/3, а потом — на 1/4, а потом — на 1/5, и так далее… Вот он прыгает и прыгает. Есть ли предел того, куда он может допрыгать?

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...

Слушатель: Да.

А.С.: При наивном подходе кажется, что есть, потому что «шажки все меньше и меньше». Но тем не менее, друзья мои, вы будете смеяться, или удивляться, или поражаться, или возмущаться, но

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... = +∞

(т. е. эта сумма равна бесконечности).

Нет никакого предела тому, куда может дойти этот кузнечик. Никакого. Он может дойти до Луны, может дойти до Солнца, и далее, прямо в Космос!

В прошлом примере у нас шажки были всё меньше и меньше, они стремились к нулю, но в сумме получилось число, равное единице. А эти шажки, хотя и тоже всё меньше и меньше, но уйти этими шажками можно до бесконечности, вот такая загадка природы. Хотите, покажу, почему?

Слушатели: Да.

А.С.: Вот смотрите, сейчас я с кузнечиком сделаю страшную штуку, я сейчас его заменю на кузнечика, который шагает еще медленнее. А именно: кузнечик этот будет шагать следующим образом.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/4,

то есть вместо одной трети, он шагает на одну четверть. Не правда ли, такой кузнечик будет отставать от первого?