Математика для гуманитариев. Живые лекции

Давайте теперь поговорим о словосочетании «абсолютное доказательство». Если вы в общем и целом поймете, что это такое, то значит, мы не зря сегодня позанимались с вами.

Что такое абсолютное доказательство, я объясню на примерах. Начнем с игры в «пятнадцать».

Слушатель: Пятнашки?

Слушатель: Шестнашки?

А.С.: Чтобы мы говорили об одном и том же, я объясню правила этой игры.

В квадрате 4 x 4 имеется пятнадцать одинаковых квадратных фишек, пронумерованных от 1 до 15. Их нельзя вынимать, можно только передвигать на свободное место. Стандартная исходная позиция: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и пустое место, которое используется для передвижения фишек. (См. рис. 1; может быть задана и нестандартная исходная позиция.)

Рис. 1. Стандартная исходная позиция игры в «пятнадцать».

Пустое место можно гнать по всей игровой зоне, т. е. разрешенное действие при игре — передвижение на пустое место одной из соседних с ним фишек.

Игру придумал где-то 130 лет назад американский математик-популяризатор Сэм Лойд. А чуть позже он пообещал большой приз ($1000) тому, кто переведет комбинацию с картинки рис. 2 в исходную позицию на рис. 1.

Рис. 2. Исходная позиция, которую получили, поменяв местами фишки 14 и 15.

Такая вот детская игра. Делайте, что хотите (в рамках указанного правила). Передвигайте фишки как вам угодно. Только приведите игру в исходную позицию. Начался настоящий пятнашечный бум. Примечательно, что на этот момент наука алгебра в другой части света находилась в очень продвинутом состоянии. Математики сказали свое веское слово, предоставив абсолютное доказательство того, что выиграть в такую игру невозможно. Тем не менее ажиотаж с игрой в пятнашки продолжался еще много лет — так много было желающих посрамить математику и «срубить» тысячу долларов.

Что же означает в этой игре «абсолютное доказательство»? Это значит: какие бы действия вы не совершили, сколько бы времени и каким количеством способов бы не передвигали фишки, вы никогда, ни при каких условиях не вернетесь из позиции на рис. 2 в исходную позицию на рис. 1. В частности, если кто-то предъявил такое решение, значит он — лгун. Он, видимо, взял, выдрал фишки из коробки и расставил их в правильном порядке. Абсолютное доказательство — это точное, настолько точное утверждение, насколько вообще что-то может быть точным. Математика — наука точных утверждений. Не «примерно», не «может быть», не «скорее всего, не приведете», а никогда, ни при каких условиях не приведете, какие бы способности к этой игре у вас ни были.

Я постараюсь доказать эту теорему. Но что значит «постараюсь доказать»? Что вообще означает «доказать»? Что значит «я ее докажу»? Как вы это понимаете?

Слушатель: Мы будем убеждены.

А.С.: Вот именно. Я найду способ вас убедить. Но с другой стороны, это не совсем то, что нам нужно.

Расскажу такую историю. Один рыцарь объяснял другому рыцарю математику. Первый рыцарь был очень умный, а второй — очень глупый. Второй рыцарь никак не мог понять доказательство. И тогда умный рыцарь говорит: «Честное благородное слово, это так». И второй сразу поверил: «Ну, тогда о чем разговор. Мы же с Вами люди безупречной чести, и я, конечно, Вам верю. Я полностью убежден».

У нас разговор пойдет не о таком способе убеждения. Идея математического, абсолютного доказательства не в том, что я дам честное слово, а в том, что я, апеллируя к вашему разумению, передам вам какое-то знание, которое вы потом столь же спокойно передадите дальше. Вы придёте и скажете: «Мы знаем, почему в “пятнашки” бессмысленно играть. Мы это знаем совершенно точно, нам это доказал Алексей. И не просто доказал при помощи какого-то там шаманства, пошаманил-пошаманил и сказал, что нет решения у этой задачи. Мы получили такое знание, которое сможем воспроизвести и доказать, что выиграть в игру “пятнашки” невозможно».

Насчет пошаманить есть очень поучительный эпизод из жизни математиков. В начале XX века жил в Индии математик Сринива́са Рамануджан. На момент начала нашей истории ему было 26 лет. Он заваливал письмами лондонское математическое общество, в которых были формулы, содержащие числа «π» и «е» (мы с ними позже познакомимся) и страшные бесконечные суммы, которым эти выражения равны. В Лондоне проверяют — всё верно. А Рамануджан присылает всё новые и новые письма. Профессор математики Г. Харди приглашает его приехать в Англию и рассказать, как он выводит эти формулы. Рамануджан отвечает, что формулы сообщает ему во сне богиня Маха-Лакшми[3]. Харди, конечно, посмеялся, решив, что индус не хочет делиться секретом.

Английский математик пишет новое письмо, в котором пытается заверить Рамануджана, что никто не будет претендовать на его открытие. Такое предположение оскорбляет индуса. Он отвечает, что совершенно не дорожит такими вещами, как авторство.