Математика для гуманитариев. Живые лекции

Есть миф, будто математика состоит из формул. В 1993 году, когда я учился на 3-м курсе мехмата, я ехал на Урал к тете. Со мной в купе ехала мама с маленькой 4-летней дочкой. И дочка говорит: «Мама, а можно почитать дядину книгу?» Книга моя называлась «Алгебра». Мама сказала: «Ты в ней ничего не поймешь, там одни формулы». Я передаю книгу и говорю: «Найдите первую формулу. На какой она странице?» Формул в книге по алгебре не очень много, и самое страшное не в их количестве, а в том, что они ужасающие, в них одни буквы, даже цифр почти нет. Это, скорее, похоже на какой-то древний язык. Совершенно не то в книге, что должно быть с точки зрения людей. Идея, что математика состоит из формул, столь же чудовищна, как мысль, что в храм люди заходят, чтобы просто совершить обряд, поставить свечку. Моя дочь говорит, например: «Пойдем, поставим огоньки». Для нее это нормально, она маленькая. Математика — это вселенная, в которой есть язык формул. Но суть не в нём, а в том, какие глубинные законы есть в математике. И вот эти законы, эту внутреннюю красоту я постараюсь вскрыть.

После такого философского отступления вернемся к нашей доске.

Произведение, которое получится уже через 20 умножений, имеет порядок количества атомов во вселенной (как любят говорить в научно-популярных книгах). Вот с чем сравнимо количество способов, которые нужно перебрать, чтобы заявить: «Мы перебрали все варианты, задачу решить нельзя». Надо придумать что-то другое. И то, что мы сейчас придумаем это абсолютное доказательство.

Может быть, у кого-то есть идеи?

Слушатель: Взять площадь каждой фишки и разделить на нее общую площадь поля.

А.С.: Ничего не выйдет. Общая площадь 62, у каждой фишки 2, значит нужна 31 доминошка, это мы понимаем. Но 30 умещается, а 31 — нет (рис. 6).

Рис. 6. Внимание! На доске уже не квадратики, а «кирпичи»!

Последняя доминошка распадается на два квадратика в разных местах. И что бы вы ни делали, последняя будет, как заколдованная, распадаться на два квадратика.

Теперь я доказываю, что замостить доску доминошками невозможно.

Ведь перед нами, по сути, шахматная доска. Давайте вернем ей ее шахматный вид. Клетки на ней будут то черные, то белые (рис. 7).

После вырезания двух угловых квадратиков, сколько черных и сколько белых клеточек останется?

Слушатель: Одних будет больше, других меньше.

Слушатель: Одна доминошка должна покрывать и белую, и черную, да?

Рис. 7. Теперь все «кирпичи» сделаем двуцветными.

Рис. 8. Сеанс черной магии заканчивается полным разоблачением!

А.С.: Кто-то уже всё понимает (см. рис. 8). Любая доминошка, уложенная на эту доску, покрывает и белую, и черную клетку. Поэтому, если бы фигуру, которую я сейчас нарисовал, можно было бы заложить доминошками, черных и белых клеток было бы одинаковое количество. Но мы вырезали две белых. Осталось 30 белых и 32 черные клетки. Противоречие. Количества черных и белых клеток не равны друг другу. Значит, нашу фигуру нельзя замостить доминошками. Абсолютное доказательство закончено. Не надо ничего перебирать.

Повторю еще раз.