Математика для любознательных

Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотренными, но все же сходный с ними. Рассмотрим внимательнее, что должно получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, т. е. на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8, мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (т. е. к 999999) прибавить наше число:

142857 x 8 = 142857 x 7 + 142857 = 999999 + 142857 = 1.000.000-1 + 142857 = 1.000.000 + (142857-1).

Окончательный результат - 1142856 - отличается от умножаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна 1-ца, а последняя цифра на 1-цу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142857 на всякое другое число, больше 7, - как легко усмотреть из следующих строк:

142857 x 8 = (142857 x 7) + 142857 = 1142856

142857 x 9 = (142857 x 7) + (142857 x 2) = 1285713

142857 x 10 = (142857 x 7) + (142857 x 3) = 1428570

142857 x 16 = (143857 x 7 x 2) + (142857 x 2) = 2285712

142857 x 39 = (142857 x 7 x 5) + (142857 x 4) = 5571423.

Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата[67]. Пусть мы желаем умножить 142857 на 86. Множитель 86при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения таков:

12571428 - 12 = 12571416.

От умножения 142857 x 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52142857 - 52 = 52142805.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно - нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносно-быстрым умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, запомним, что оно произошло от ¹/₇, или - что то же самое, - от ²/₁₄; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из 9-ти:

Мы уже имели дело с такими числами - именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142857 = 143 x 999.

Но 143 = 13 x 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 x 11 x 13, мы будем в состоянии, не выполняя действия, предсказать, что должно получиться от умножения 142857 x 7:

142857 x 7 = 143 x 999 x 7 = 999 x 11 x 13 x 7 = 999 x 1001 = 999999

(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).

Феноменальная семья

Задача № 40

Только что рассмотренное нами число 142857 является одним из членов целой семьи чисел, обладающих теми же свойствами. Вот еще одно такое число: 058823594117647 (0 впереди необходим). Если умножить это число, например, на 4, мы получим тот же ряд цифр, только первые 4 цифры будут переставлены в конец:

0588235294117647x4 = 2352941176470588.

Расположив цифры этого числа на ряде подвижных колец, как в предыдущем случае, - мы при сложении чисел двух колец будем получать то же число, лишь смещенное в круговом порядке:

При кольцевом расположении все три ряда, конечно, тождественны.

От вычитания чисел двух колец опять-таки получается тот же круг цифр:

Наконец, это число, как и рассмотренное ранее, состоит из двух половин: цифры второй половины являются дополнением цифр первой половины до 9.

Попробуйте найти разгадку всех этих особенностей.

Решение

Нетрудно догадаться, каким образом приведенный числовой ряд оказался столь близким родственником числа 142857; последнее число представляет собою период бесконечной дроби, равной ¹/₇, наше же число является, вероятно, периодом какой-нибудь другой дроби. Так и есть: наш длинный ряд цифр - не что иное, как период бесконечной дроби, получающейся от превращения в десятичную простой дроби ¹/₁₇:

¹/₁₇ = 0,(0588235294117647).

Вот почему при умножении этого числа на множители от 1 до 16 получается тот же ряд цифр, в котором лишь одна или несколько начальных цифр перенесены в конец числа. И наоборот - перенося одну или несколько цифр ряда из начала в конец, мы тем самым увеличиваем это число в несколько раз (от 1 до 16). Складывая два кольца, повернутых одно относительно другого, мы производим сложение двух умноженных чисел, например утроенного и удесятеренного - и, конечно, должны получить то же кольцо цифр, потому что умножение на 3 + 10, т. е. на 13, вызывает лишь перестановку группы цифр, незаметную при круговом расположении.