Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную

Вспомним (об этом говорилось в главе 5), что в поясе астероидов имеются «люки» — определенные расстояния от Солнца, где астероидов необычно мало, и что эти щели коррелируют с орбитами, состоящими в резонансе с Юпитером. В 1983 году Уиздом исследовал структуру люка Кирквуда (резонанс 3:1), пытаясь разобраться в математическом механизме, изгоняющем астероиды с такой орбиты. Математики и физики уже установили тесную связь между резонансом и хаосом. Само явление резонанса основано на существовании периодической орбиты, на которой астероид делает целое число оборотов за то время, пока Юпитер совершает другое целое число оборотов по своей орбите. Эти два числа характеризуют резонанс, и в данном случае это 3 и 1. Однако такая орбита будет изменяться под возмущающим влиянием других тел. Вопрос в том, как изменяться.

В середине XX века три математика — Андрей Колмогоров, Владимир Арнольд и Юрген Мозер — получили отдельные фрагменты ответа на этот вопрос, которые вместе образовали теорему Колмогорова — Арнольда — Мозера (теорему КАМ). Она гласит, что орбиты, близкие к периодическим, бывают двух типов. Одни из них квазипериодичны, они «крутятся» вокруг основной орбиты, другие — хаотичны. Более того, эти два типа размещаются в пространстве весьма хитроумным способом. Квазипериодические орбиты закручиваются вокруг трубок, окружающих основную периодическую орбиту. Этих трубок бесконечное множество. Между ними располагаются более сложные трубки, которые закручиваются уже вокруг этих спиральных трубок. Между ними располагаются еще более сложные трубки, которые закручиваются уже вокруг этих, и т. д. (Именно это означает слово «квазипериодические».) Хаотические орбиты заполняют собой сложной формы прорехи между всеми этими простыми и многократно закрученными спиралями и определяются гомоклиническим плетением Пуанкаре.

Чтобы хоть как-то визуализировать эту чрезвычайно сложную структуру, проще всего позаимствовать прием Пуанкаре и посмотреть на нее в поперечном сечении. Основной периодической орбите здесь соответствует центральная точка, квазипериодические трубки в сечении образуют замкнутые кривые, а заштрихованные области между ними — это следы хаотических орбит. Такая орбита проходит через некоторую точку в заштрихованной области, проходит полный круг вблизи оригинальной периодической орбиты и вновь проходит через плоскость сечения в другой точке — отношения которой с первой выглядят случайными. Наблюдатель при этом не увидит, что астероид шатается по орбите, как пьяный; просто орбитальные элементы астероида меняются хаотически от оборота к обороту.

Чтобы провести конкретные расчеты для люка Кирквуда 3:1, Уиздом придумал новый метод моделирования динамики: формулу, помогающую определить, как последовательные орбиты проходят через плоскость сечения. Вместо того чтобы решать дифференциальные уравнения орбиты, достаточно просто раз за разом применять эту формулу. Результаты подтверждают, что хаотические орбиты существуют, и позволяют подробнее рассмотреть, что они собой представляют. У наиболее интересных орбит эксцентриситет аппроксимирующего эллипса внезапно и резко возрастает. Так, что орбита, достаточно близкая к окружности или, скажем, округлому эллипсу, превращается в эллипс длинный и тонкий. Достаточно длинный, кстати говоря, чтобы пересечь орбиту Марса. Поскольку происходит это неоднократно, существует значительная вероятность, что он сблизится с Марсом и испытает его возмущающее действие — эффект пращи. И этот эффект забросит его… куда угодно. Уиздом предположил, что именно при помощи этого механизма Юпитер расчищает люк Кирквуда 3:1. Для подтверждения этого он нанес орбитальные элементы ближайших к нему астероидов на диаграмму и сравнил их с хаотической зоной своей модели. Совпадение получилось почти идеальным.

По существу, хаос придает любому астероиду, пытающемуся существовать в щели, встряску, и отправляет его к Марсу, который уже непосредственно выпинывает его прочь. Юпитер подает угловой, Марс забивает. И иногда… всего лишь иногда… Марс выпинывает астероид в нашем направлении. И если удар попадает в цель…

Динозавры проигрывают, один — ноль в пользу Марса.

10. Межпланетная автострада

Космические путешествия — полная чепуха.

Ричард Вулли, королевский астроном, 1956 год

Когда мечтатели — ученые и инженеры — впервые всерьез задумались о высадке человека на Луну, одной из первых задач, которые им необходимо было решить, стала выработка лучшего маршрута. Слово «лучший» имеет много значений. В данном случае основными требованиями были быстрота перелета (она позволяла минимизировать время, которое уязвимые астронавты проведут в славной жестянке космического корабля) и минимальное число включений и выключений ракетного двигателя (что снижало вероятность его отказа).