Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Если мы используем 20-процентный активный счет (т.е. FRAC = 0,2), тогда FG рассчитывается на основе 0,2f. Таким образом, когда среднее геометрическое при полном оптимальном f составляет 1,01933, а при 0,2fFG = 1,005, мы получим не­равенство:

Для оптимального f мы рассчитаем среднее геометрическое G, а для дробного f— среднее геометрическое FG. Расчеты ведутся на дневной основе. Теперь по­смотрим, является ли один квартал достаточной длиной периода. Так как в квар­тале примерно 63 торговых дня, посмотрим, достаточно ли будет N = 63, чтобы

воспользоваться преимуществом динамического дробного f. Для этого проверим, выполняется ли неравенство (8.01) при N = 63:

1,005 ^{^} 63 <= 1,01933 ^ 63 * 0,2 + 1 - 0,2

1,369184237 <= 3,340663933 * 0,2 + 1 - 0,2

1,369184237 <= 0,6681327866 +1-0,2

1,369184237 <= 1,6681327866 - 0,2

1,369184237 <= 1,4681327866

Неравенство соблюдается, так как левая его часть меньше правой. Таким образом, если при данных значениях переразмещать активы на ежеквартальной основе, лучше использовать динамическое дробное f.

Что следует делать, если баланс растет? В начале каждого периода рассчиты­вайте общее значение счета и переводите определенное количество средств с активного на неактивный баланс. Таким образом будет происходить переразме­щение. Рассмотрим 100 000-долларовый счет, где 20 000 долларов — активная сумма, причем усреднение происходит на ежеквартальной основе, а ежеквар­тальный процент переводимых средств составляет 2%. Допустим, в начале квартала счет все еще равен 100 000 долларов, из которых 20 000 долларов со­ставляют активный баланс. Следует перевести 2% общего баланса счета из активного на неактивный баланс. Таким образом, счет в 100 000 долларов будет состоять теперь из 18 000 долларов для активного баланса и 82 000 долларов для неактивного баланса.

Следует стремиться к тому, чтобы торговая программа опережала периоди­ческие снятия со счета. Допустим, в нашем последнем примере счет, равный 100000 долларов, к концу квартала повышается до 110000 долларов. Теперь, когда мы перейдем к переразмещению на основе 2%, то снимем 2200 долларов с активного счета ($30 000) и переведем их на неактивный счет ($80 000). Таким образом, мы получим 27 800 долларов на активном счете и 82 200 долларов на неактивном счете. Так как активный баланс после переразмещения больше, чем в начале предыдущего периода, мы можем сказать, что программа опережает переразмещение.

С другой стороны, если программа проигрывает деньги, то предложенный ме­тод со временем переведет весь баланс счета в неактивный баланс, и, в конце кон­цов, вы автоматически прекратите использовать убыточную программу.

Естественно, возникают два вопроса. Первый: «Какую сумму следует снимать со счета, чтобы программа автоматически прекратила работу (т.е. активный ба­ланс стал бы равен нулю), если баланс счета не растет в течение N снятий с актив­ного счета?» Ответ можно получить из уравнения:

(8.02) Р = 1 - неактивный ^ (1 / N),

где Р = доля общего баланса счета, которая периодически переводится с активного на неактивный баланс;

неактивный = неактивная доля баланса счета;

N = число периодов, через которое программа прекратит работу, если баланс не будет расти.

Таким образом, если раз в квартал переводить часть средств с активного на не­активный баланс (причем первоначальный неактивный баланс составляет 80% от общего) и мы хотим, чтобы программа прекратила работать через 2,5 года (10 кварталов, т.е. N = 10), то квартальная доля может быть найдена следую­щим образом:

Р= 1-0,8^(1/10) =1-0,8 ^0,1 = 1 - 0,9779327685=0,0220672315

Мы видим, что каждый квартал следует переводить 2,20672315% общего баланса с активного на неактивный счет.

Второй вопрос звучит так: «Если мы снимаем определенный процент средств со счета, сколько должно пройти времени, чтобы активный баланс стал равен О?» Дру­гими словами, если мы снимаем Р% каждый период (в нашем случае период равен кварталу) и баланс счета не растет, через сколько периодов N активный баланс обнулится? Ответ можно получить из уравнения:

(8.03) N = 1n(неактивный) / 1n(1 - Р),

где Р = доля общего баланса счета, которая периодически переводится с активного на неактивный баланс;

неактивный = неактивная доля баланса счета;

N = число периодов, через которое программа прекратит работу, если баланс не будет расти.

Допустим, первоначальный неактивный баланс составляет 80% от общего балан­са, и вы ежеквартально снимаете 2,20672315%. Число периодов (в нашем случае кварталов), необходимое для прекращения работы программы (при условии, что баланс не растет), равно:

N = ln(0,8) / ln(l - 0,0220672315) = ln(0,8) / ln(0,9779327685) =-0,223143/-0,0223143 =10, т.е. программа прекратит работу через 10 периодов.