Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Сняв ограничение по сумме весов и выбрав геометрически оптимальный пор­тфель, мы получим оптимальный портфель с рычагом. Здесь веса и количества от­личаются. Разделим оптимальное количество для финансирования одной едини­цы каждого компонента на его соответствующий вес и получим оптимальный рычаг для каждого компонента портфеля. Теперь разбавим портфель, включив в него безрисковый актив. Можно разбавить портфель до точки, где рычаг как бы исчезает, т.е. рычаг применяется к активной части портфеля, но активный баланс портфеля в действительности использует беспроцентные деньги из неактивной части баланса. Таким образом мы получим портфель, в котором регулируются по­зиции при изменении баланса счета, что позволяет получить наибольший геомет­рический рост. Предложенный метод максимизирует отношение потенциального геометрического роста к потенциальному проигрышу и допускает заранее извест­ный максимальный проигрыш. Для управления портфелем ценных бумаг опи­санный метод является наилучшим. Наиболее распространенный в настоящее время метод выведения эффектив­ной границы в действительности не позволяет получить эффективную границу и, тем более, геометрический оптимальный портфель (геометрический оптималь­ный портфель всегда находится на эффективной границе), который можно найти только с помощью оптимального f. Кроме того, традиционный метод позволяет получить портфель на основе статического f, а не динамического f, которое в асимптотическом смысле предпочтительнее.

Заключительный комментарий

В настоящее время исследования, подобные изложенным в этой книге, представ­ляют большой интерес. С середины 1950-х годов постоянно появляются новые концепции. Много замечательных идей, основанных на модели Е — V, пришло к нам из академического сообщества. Среди предложенных концепций есть, на­пример, модель Е — S, где риск измеряется не дисперсией, а полудисперсией. Полудисперсия — это дисперсия некоторого уровня прибыли, который может

быть ожидаемой прибылью, нулевой прибылью или любым другим фиксирован­ным уровнем прибыли. Когда заданный уровень прибьши равен ожидаемой при­были и распределение прибылей симметрично (без асимметрии), эффективная граница Е — S совпадает с эффективной границей Е — V.

Существуют модели портфелей, использующие вместо дисперсии прибылей другие способы выражения риска, а также более высокие моменты распределе­ния прибылей. Большой интерес в этом отношении представляют методы сто­хастического доминирования, которые учитывают все распределения прибылей и могут считаться предельным случаем многомерного анализа портфеля, когда число используемых моментов стремится к бесконечности. Подобный подход может быть особенно полезен в том случае, когда дисперсия прибылей беско­нечна или не определена.

И снова повторюсь — я не академик — это ни хвастовство, ни извинение, я та­кой же академик, как чревовещатель или телевизионный проповедник. Академи­кам необходима модель для объяснения того, как работают рынки, мне же не так важно, как они работают. Многие представители академического сообщества ут­верждают, что гипотеза об эффективной границе неверна, так как не существует по­нятия «рациональный инвестор». Сторонники такого подхода утверждают, что люди не ведут себя рационально, поэтому традиционные модели портфелей, такие как теория Е — V (и ее варианты) и модель оценки доходности финансовых акти­вов, являются неудовлетворительными моделями работы рынков. Я согласен, что инвесторы не всегда ведут себя рационально, но это не означает, что нам следует ве­сти себя подобным образом. Нельзя утверждать, что мы не можем получить выгоду из рационального поведения. Когда дисперсия прибылей конечна, мы можем по­лучить преимущество, находясь на эффективной границе.