Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Теперь, когда мы закончили рассмотрение эмпирических методов, а также характеристик торговли фиксированной долей, мы изу­чим параметрические методы. Эти методы отличаются от эм­пирических тем, что в них не используется прошлая история в качестве данных, с которыми придется работать. Мы просто наблюдаем за прошлой историей для создания математического описания распределения исторических данных. Это математи­ческое описание основывается на том, что произошло в прошлом, а также на том, что, как мы ожидаем, произойдет в будущем. В параметрических методах мы имеем дело с этими математичес­кими описаниями, а не с самой прошлой историей. Математические описания, используемые в параметрических ме­тодах, называются распределениями вероятности. Чтобы ис­пользовать параметрические методы, мы должны сначала изу­чить распределения вероятности. Затем мы перейдем к изучению очень важного типа распределения, нормального распределения. Мы узнаем, как найти оптимальное/и его побочные продукты при нормальном распределении.

Основы распределений вероятности

Представьте себе, что вы находитесь на ипподроме и ведете запись мест, на которых лошади финишируют в забегах. Вы записываете, какая лошадь пришла первой, ка­кая второй и так далее для каждого забега. Учитываются только первые десять мест. Если лошадь пришла после десятой, то вы запишете ее на десятое место. Через не­сколько дней вы соберете достаточное количество информации и увидите распреде­ление финишных мест для каждой лошади. Теперь вы можете взять полученные данные и нанести на график. По горизонтальной оси будут отмечаться места, на ко­торых лошадь финишировала, слева на оси будет наихудшее место (десятое), а спра­ва наилучшее (первое). На вертикальной оси мы будем отмечать, сколько раз бего­вая лошадь финишировала в позиции, отмеченной на горизонтальной оси. Вы уви­дите, что построенная кривая будет иметь колоколообразную форму.

При таком сценарии есть десять возможных финишных мест для каждого за­бега. Мы будем говорить, что в этом распределении — десять ячеек (bins). Посмот­рим, что произойдет, если вместо десяти мы будем использовать пять ячеек. Пер­вая ячейка будет для первого и второго места, вторая ячейка для третьего и четвер­того места и так далее. Как это отразится на результатах?

Использование меньшего количества ячеек при том же наборе данных в резуль­тате дало бы распределение вероятности с тем же профилем, что и при большом количестве ячеек. То есть графически они бы выглядели примерно одинаково. Од­нако использование меньшего количества ячеек уменьшает информационное со­держание распределения, и наоборот, использование большего количества ячеек повышает информационное содержание распределения. Если вместо финишных позиций лошадей в каждом забеге мы будем записывать время, за которое пробежа­ла лошадь, округленное до ближайшей секунды, то получим не десять ячеек, а боль­ше, и, таким образом, информационное содержание распределения увеличится.

Если бы мы записали точное время финиша, а не округленное до секунд, то могли бы построить непрерывное распределение. При непрерывном распределе­нии нет ячеек. Представьте непрерывное распределение как серию бесконечно малых ячеек (см. рисунок 3-1). Непрерывное распределение отличается от диск­ретного, которое является ячеистым распределением. Хотя создание ячеек умень­шает информационное содержание распределения, в реальной жизни это един­ственно возможный подход для обработки ячеистых данных, поэтому на практи­ке приходится жертвовать частью информации, сохраняя при этом профиль распределения. И наконец, вы должны понимать, что можно взять непрерывное распределение и сделать его дискретным путем создания ячеек, но невозможно дискретное распределение переделать в непрерывное.