Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

К сожалению, большинство распределений торговых P&L плохо описываются функциями нормального и других распределений. В этой главе мы сначала обратимся к проблеме неопределенной природы распределения торговых P&L и далее изучим метод планирования сценария — естественное продолжение идеи оп­тимального/. Этот метод широко применяется и позволяет находить оптимальное f по ячеистым распределениям. Далее мы перейдем к следующей главе, посвященной опционам и одновре­менной торговле по нескольким позициям. Прежде чем смоделировать реальное распределение торговых P&L, мы должны найти метод сравнения двух распределений.

Тест Колмогорова-Смирнова (К-С)

Хи-квадрат тест, без сомнения, является наиболее популярным из всех методов сравнения двух распределений. Так как многие ориентированные на рынок при­ложения, помимо рассматриваемых в этой главе, часто используют хи-квадрат тест, то он описан в Приложении А. Однако для наших целей наилучшим методом будет тест К-С. Этот очень эффективный тест применим к неячеистым распреде­лениям, которые являются функцией одной независимой переменной (в нашем случае, прибыль за одну сделку).

Все функции распределения вероятности имеют минимальное значение 0 и мак­симальное значение 1. То, как они ведут себя между ними, и отличает их. Тест К-С измеряет очень простую переменную D, которая определяется как максимальное аб­солютное значение разности между двумя функциями распределения вероятности. Тест К-С достаточно прост. N объектов (в нашем случае сделок) нормируются (вычитается среднее значение, и полученная разность делится на стандартное от­клонение) и сортируются в порядке возрастания. Когда мы проходим эти отсор­тированные и нормированные сделки, накопленная вероятность рассматривае­мого количества сделок делится на N. Когда мы берем первую сделку в отсортиро­ванной последовательности с наименьшим стандартным значением, функция распределения вероятности (cumulative density function, далее — ФРВ) равна 1/N. Для каждого стандартного значения, которое мы проходим, приближаясь к наи­большему стандартному значению, к числителю прибавляется единица. В конце последовательности наша ФРВ будет равна N/N, или 1. Для каждого стандартного значения мы можем рассчитать теоретическое рас­пределение. Таким образом, мы можем сравнить фактическую функцию распре­деления вероятности с любой теоретической функцией распределения вероятно­сти. Переменная D, или статистика К-С (К-С statistic), равна наибольшему рас­стоянию между значением нашей фактической функции распределения вероятности и значением теоретического распределения ФРВ при этом же стан­дартном значении. При сравнении фактической ФРВ для данного стандартного значения с теоре­тической ФРВ для этого же стандартного значения мы должны также сравнить теоретическую ФРВ предыдущего стандартного значения с фактической ФРВ те­кущего стандартного значения.

Для того чтобы прояснить эту ситуацию, посмотрим на рисунок 4-1. Отметьте. что в точке А фактическая кривая находится выше теоретической. Поэтому мы сравниваем текущее значение фактической ФРВ с текущим теоретическим значе­нием для нахождения наибольшей разности. Однако в точке В фактическая кри­вая находится ниже теоретической. Поэтому мы сравниваем предыдущее факти­ческое значение с текущим теоретическим значением. Идея состоит в том, что в результате мы выберем наибольшую разность.

Для каждого стандартного значения нам надо взять абсолютное значение разно­сти между текущим значением фактической ФРВ и текущим значением теорети­ческой ФРВ. Нам также надо взять абсолютное значение разности между преды­дущим значением фактической ФРВ и текущим значением теоретической ФРВ. Повторив эту операцию для всех стандартных значений точек, где фактическая ФРВ делает скачок вверх на 1/N, и взяв наибольшую разность, мы определим пе­ременную D.

Рисунок 4-1Тест К-С

Чем ниже значение D, тем больше похожи два распределения. Мы можем преоб­разовать значение D в уровень значимости с помощью следующей формулы:

где SIG = уровень значимости для данного D и N;

D = статистика К-С;

N = количество сделок, по которым определена статистика К-С;

% = оператор, означающий остаток после деления. Здесь J%2 дает остаток после деления J на 2;

ЕХР() = экспоненциальная функция.